© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven  
       
       
Differentieer de volgende functies, en schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.
         
  a. y = 2√x + 4x2 e. y = x2√x + 4
         
  b. f(x) = - 4 - 5/x3 f. y = 6x -  3/√x
         
  c. f(x) = x - 6√x g. f(x) = 4x/√x
         
  d. f(x) = 3x5 - x - 4x√x h. y = 3√x/x2
         
Geef de afgeleide van de volgende functies, en schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.
         
  a. f(x) = x • (√x - 2x) e. f(x) = (x + 4)/x2
         
  b. y = 4x3 √x - 2x4 f. f(x) = x4 • 5/x6
         
  c. y = 4/6x5 g.
         
  d. y = (x + √x) • (x2 - √x) h. y = (6 + x)/√x
         
In een laboratorium onderzoekt men de invloed van een virus op rode bloedcellen. Op tijdstip t = 8 infecteert men het bloed van een witte muis met een virus dat de bloedcellen aantast. Vanaf dat tijdstip houdt men bij hoeveel procent van de bloedcellen nog gezond zijn. Het aantal gezonde cellen blijkt eerst af te nemen, maar na een poosje, als de muis een antistof heeft ontwikkeld, neemt dat percentage weer toe. Het volgende model blijkt dit experiment aardig te omschrijven:
 

       
  Daarin is t de tijd in dagen (met t = 8 op het moment van infecteren) en P het percentage gezonde bloedcellen.
       
  a. Met welke snelheid (% per dag) neemt P direct na infecteren af?
       
  b. Bereken P'(16). Leg uit wat dit antwoord betekent voor de grafiek van P.
       
  c. De grafiek van P heeft als horizontale asymptoot de lijn P = 100. Leg duidelijk uit hoe je aan de formule van P ' kunt zien dat er zo'n horizontale asymptoot zal zijn.
       
  d. Leg duidelijk uit hoe je aan de formule van P zelf kunt zien dat er zo'n horizontale asymptoot zal zijn.
       
Gemiddeld heeft een mens een reactietijd van ongeveer 0,3 seconden. Maar door het gebruiken van een peppil als bijvoorbeeld XTC zal iemands reactietijd afnemen (hij zal sneller kunnen reageren).
De werkzame stof in XTC is MDMA (3,4-methyleendioxymethamfetamine).
Het blijkt echter dat XTC maar beperkte tijd werkt. Na een poosje zal het reactievermogen juist gaan toenemen (dus zal men steeds langzamer gaan reageren).
Een model dat de reactietijd beschrijft is   R(t) = 0,1t√t - 0,22t + 0,3
Daarbij is R de reactietijd (in seconden) en t de tijd na inname van een tablet XTC (in uren).

Als de afgeleide functie R' negatief is, dan zal iemand alerter worden.
       
  a. Leg duidelijk uit waarom dat zo is.
       
  b. Bereken algebraïsch hoe lang een tablet XTC iemands reactietijd blijft verkorten.
       
  c. Bereken algebraïsch hoe lang geldt dat de reactietijd kleiner is dan de reactietijd zonder XTC.
       
MEER OPGAVEN
       
5. Het lichaamsgewicht van powerlifters kan enorm uiteenlopen. In deze opgave gaan we ervan uit dat een powerlifter altijd minimaal 50 kg weegt. Iemand met een groot lichaamsgewicht kan meestal meer tillen dan iemand met een klein lichaamsgewicht. Om de prestaties van powerlifters met verschillend lichaamsgewicht met elkaar te kunnen vergelijken, moet er gecorrigeerd worden voor het lichaamsgewicht. Hiervoor bestaan diverse modellen.

Volgens een theoretisch model moet je als volgt corrigeren voor het lichaamsgewicht:
   
 

   
  In deze formule is T het getilde gewicht in kg en L het lichaamsgewicht in kg, met L ≥ 50 . Het getal Ptheoretisch is een maat voor de prestatie: een grotere waarde van Ptheoretisch betekent een grotere prestatie.
     
  a. Een powerlifter van 70 kg tilt een gewicht van 150 kg. Bereken hoeveel kg een powerlifter van 100 kg moet tillen om volgens het theoretisch model dezelfde prestatie te leveren.
     
  b. We bekijken een powerlifter A met een lichaamsgewicht van 50 kg en een powerlifter B met een lichaamsgewicht van 150 kg. Als B volgens het model dezelfde prestatie wil leveren als A, moet B een ruim twee keer zo groot gewicht tillen als A. Toon dit aan.
       
  In de figuur hiernaast is een grafiek getekend van de prestatie van een powerlifter die een gewicht van 120 kg tilt. In deze grafiek is te zien dat het tillen van eenzelfde gewicht (van 120 kg) voor een lichtere powerlifter een hogere prestatie oplevert dan voor een zwaardere powerlifter.
Twee powerlifters tillen allebei 120 kg. De ene powerlifter weegt 65 kg, de andere weegt 105 kg. Beide powerlifters besluiten af te vallen. In de grafiek is te zien dat de prestatie van de lichtste powerlifter het meest zal stijgen als ze allebei evenveel afvallen. Dit is ook in te zien door de afgeleide te gebruiken.

       
  c. Toon met behulp van de afgeleide aan dat de prestatie van de lichtste powerlifter het meest zal stijgen als ze allebei evenveel afvallen.
       
6.
De functie f is gegeven door    f (x) = -3 + Ö(2x + 6). 
   
a. Leg uit hoe de grafiek van  f  ontstaat uit de grafiek van  
y = √x
   
De grafiek van f snijdt de x-as in het punt  A.
Verder zijn gegeven de punten  B(-3, 0) en C(-3, -3)

Zie de figuur hiernaast.
   
b. Toon algebraïsch aan dat S het midden van BC is.
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)