De afgeleide van tanx.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
       
De afgeleide van tanx is vrij makkelijk te vinden omdat tanx = sinx/cosx
Met de afgeleiden van sinx en van cosx en met de quotiëntregel ben je er al snel uit:
       
       
Sommigen vinden het mooier als in de afgeleide van tanx ook alleen maar tanx voorkomt (en geen cosx). Als jij ook één van die mensen bent, dan moet je de afgeleide zó maken:
       
       
Samengevat:
       

       
Nu we de afgeleide hebben gevonden kunnen we die afgeleide natuurlijk weer gebruiken om raaklijnen te maken of om te optimaliseren.
       
Voorbeeld:   Geef een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van  y = tan(x) in het punt waar x = 1/3p.

Oplossing.
y '= 1 + tan2(x)  dus  y'(1/3p) = 1 + tan2(1/3p) = 1 + 3 = 4
De raaklijn is de lijn  y = 4x + b
Het raakpunt is  (1/3p, √3)
Dat geeft  √3 = 4 × 1/3p + b  dus b = √3 - 4/3p
De raaklijn is de lijn  y = 4 + √3 - 4/3p.
       
Voorbeeld: 
De grafiek van  y= 2/3x snijdt de grafiek van  y = 1/2tanx  op het interval
[0, 1/2p]  in punt O en in punt S
Tussen O en S worden een aantal verticale lijnstukken getekend  tussen  de grafiek van y = 1/2tanx en y = 2/3x.  Zoals de rode lijnstukken in de figuur hiernaast.
Bereken de maximale lengte van zo'n lijnstuk in twee decimalen nauwkeurig

Oplossing.
De lengte van zo'n lijnstuk is  L = 2/3x - 1/2tan(x)
L' = 2/3 - 1/2(1 + tan2x)  = 1/6 - 1/2tan2x
L ' = 0  geeft dan   tan2x = 1/3
tan(x) = √(1/3)  geeft  x = 1/6p
Dan is L =  1/9p - 1/6√3 ≈ 0,06
       
 
 
  OPGAVEN
       
1. De lijn y = 2x + π  blijkt de grafiek van y = a + tan(x) te raken voor  0 < x < π
Bereken a in twee decimalen nauwkeurig
       
2. Voor welke waarde van a raken de grafieken van y = tanx  en y = cos(ax)  elkaar bij x = 1/6p?
       
3. De lijn  y = 8/9x + b raakt de grafiek van y = 2tan3x voor  0 < x < p
Bereken b
   
4. Gegeven zijn de volgende twee functies:
f(x) = tanx
g(x) = psinx + q

De grafieken van f en g snijden elkaar loodrecht in een punt waarvan de eerste coördinaat  1/3π is.

Bereken exact de waarden van p en q.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)