© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Afgeleide van xn.
Hieronder staan 4 grafieken (rood) met eronder hun afgeleide (blauw) getekend.
Misschien valt je al wel iets op aan de vorm van deze afgeleides en grafieken......

Het lijkt er wel op alsof de vorm van de afgeleide steeds gelijk is aan de vorige functie!
Niet precies, maar wel ongeveer. Kijk maar:
De grafieken zijn wel niet exact gelijk, maar de vorm lijkt er wel aardig op. Ze zijn als afgeleide hooguit ietsje steiler geworden.
Laten we gaan onderzoeken of ons vermoeden inderdaad klopt.....

De afgeleide van y = x2

Vul de volgende tabel in:
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
helling van y = x2                  
Probeer daarna of je een formule voor f '  kunt maken. Als ons vermoeden klopt, dan zal die formule iets te maken hebben met y = x.  De oplossing staat hiernaast, maar probeer het eerst zélf!!!
De afgeleide van y = x2  is  y' = 2x
De afgeleide van y = x3

Vul de volgende tabel in:
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
helling van y = x3                  
Probeer daarna of je een formule voor f ' kunt maken. Als ons vermoeden klopt, dan zal die formule iets te maken hebben met y = x2 . Maak eventueel in de tabel een derde rij met daarin x2  en kijk of je een verband tussen de tweede en derde rij kunt vinden. De oplossing staat hiernaast, maar probeer het eerst zélf!!!
De afgeleide van y = x3  is  y' = 3x2
De afgeleide van y = x4

Probeer op dezelfde manier als hierboven een formule op te stellen voor de afgeleide van x4 . Bedenk daarbij dat ons vermoeden zegt dat het iets te maken zal hebben met x3 .
De afgeleide van y = x4  is  y' = 4x3
EEN BELANGRIJKE REGEL.
In die afgeleides die we zojuist hebben gevonden zit een regelmaat. Laten we ze nog even op een rijtje zetten:
functie f x2 x3 x4 x5
afgeleide f ' 2x 3x2 4x3 ...
De regelmaat is:  zet de macht voor de functie en maak die macht eentje lager. In formule:

f(x) = xn  ⇒  f '(x) = n ∙ xn-1
   
Het opstellen van de afgeleide functie noemen we differentiëren.
   
Drie uitbreidingen.
   
UITBREIDING 1  
   
Wat te doen als er nog een constant getal bij staat? Dus als de functie er uitziet als  f(x) = xn + a  met a één of ander constant getal?
Je kunt het antwoord daarop het best vinden door je af te vragen: "Wat gebeurt er met de grafiek van  f  als we +a  achter het  functievoorschrift zetten (Dus als we er  f + a  van maken)?"
Het antwoord daarop is simpel:  de grafiek schuift gewoon in zijn geheel  a omhoog. Maar nou komt het:  bij dat verschuiven verandert de helling niet!!! Bij een bepaalde x is de helling na afloop van het verschuiven nog precies even groot als vooraf. Dat betekent dat zo'n constant getal a geen invloed heeft op de helling.
Voor de afgeleide mogen we doen alsof die constante getallen er niet zijn.
Conclusie:

constante getallen +a of  -a  vallen weg bij differentiëren 

   
Algebraïsch genoteerd zou dat zijn:   (f(x) + a) '  =  f '(x)  maar het is misschien handiger bovenstaande regel te onthouden.
   
UITBREIDING 2  
   
Wat gebeurt er als we het functievoorschrift vermenigvuldigen met een constant getal a?
Dus bijvoorbeeld van x2 maken we 8x2 ..... Wat zijn de gevolgen voor de helling?
Je kunt weer het best kijken naar wat de gevolgen voor de grafiek zijn.
Als je een functievoorschrift met een getal a vermenigvuldigt, dan betekent dat dat elke y  a keer zo groot wordt, dus dat de afstand van de grafiek tot de x-as a keer zo groot wordt.
De grafiek wordt als het ware verticaal "uitgerekt" en wordt a keer zo groot, en dus ook a keer zo steil.
Maar dan wordt de helling óók a keer zo groot.
Je kunt dat bijvoorbeeld zien door de helling te bekijken met  Δy/Δx met een punt vlak ernaast. Als je de grafiek uitrekt wordt Δy dus a keer zo groot en Δx blijft gelijk. Dus wordt Δy/Δx óók a keer zo groot. Kortom als je de grafiek met een getal a vermenigvuldigt, dan wordt de helling daar óók mee vermenigvuldigd.
Conclusie:

   
constante getallen ×a  (of :a)  schrijf je over bij differentiëren.
   
UITBREIDING 3  
   
Wat gebeurt er met de helling als we twee grafieken bij elkaar optellen?
Hoe zit het bijvoorbeeld met de helling van  y = x2 + x3 ? Of in het algemeen met de helling van y = y1 + y2?
De oplossing kun je als volgt zien.
Stel dat over een afstand van Δx de y1 toeneemt met 4 en de y2 met 2. Dan neemt de totale y toe met 4 + 2 = 6.
Ofwel:  Δy = Δy1 + Δy2
Maar daar staat eigenlijk (als je dit berekent tussen een punt en een punt vlak ernaast) dat  y' = y1' +  y2'
Conclusie:
   
stukken die opgeteld (of afgetrokken) worden mag je apart differentiëren
   
 
Met deze drie uitbreidingen kun je nu al heel wat functies differentiëren.
 
Voorbeeld:  Geef de afgeleide van  y = -2x2 + 5x - 8
Hier staan drie stukken (namelijk -2x2 en   5x   en -8)  dus die mogen we apart differentiëren (uitbreiding 3).
-2x2 :  -2 schrijven we over (uitbreiding 2)  en de afgeleide van x2 wordt  2x.  Dat geeft samen -2 • 2x = -4x
5x :  5 schrijven we over (uitbreiding 2) en de afgeleide van x wordt 1, dus samen geeft dat 5 • 1 = 5
-8 :  die laten we weg (uitbreiding 1)
Nemen we de antwoorden weer samen dan wordt de totale afgeleide gelijk aan  -4x + 5


PAS OP!
Als er stukken met x-en erin met elkaar worden vermenigvuldigd, dan mag je NIET zomaar apart de afgeleides van die stukken nemen. Dan zul je eerst het functievoorschrift anders moeten gaan schrijven.

Twee voorbeelden:
   
f(x) = (2x + 1)(x2 + 3x)
eerst de haakjes wegwerken:  f(x) = 2x3 + 6x2 + x2 + 3x = 2x3 + 7x2 + 3x
nu de afgeleide:  f '(x) = 2 • 3x2  + 7 • 2x + 3 = 6x2 + 14x + 3
   
f(x) = 2x2 • 4x5
eerst samennemen:  f(x) = 8x7
dan de afgeleide :  f '(x) = 8 • 7x6 = 56x6
   
 
 
  OPGAVEN
1 Geef de afgeleide van de volgende functies:
         
  a. f(x) = 6x4 + 4x3 - 8x e. f(x) = 7 + 11x + 1/4x6
         
  b. f(x) = 12 - 2x3 + x2 f. y =  -0,2x3  - 5x4  + 4
         
  c. f(x) = 5x10 + 6x9 + 7x8 g. y =  6 - 3x5 - 1/2x4
         
  d. y = x + 5 - 3x4 h. f(x) =  6x - 8x + 2x2 - 10
         
2. Differentieer de volgende functies:
         
  a. f(x) = 8x + 4 - 10x3 e. y = 4x - x • 2x3
         
  b. f(x) = (5 - 2x) • (3x + 7) f. f(x) = 30x - 20x2 • 5
         
  c. y = 4x3 • 2x5 g. y = (30x - 20x2) • 5
         
  d. f(x) = 4(3x5 + 2x2) h. f(x) = 4x4 - 6x2 • x + 3x
         
3. Gegeven is de functie f(x) = 2x5 - 4x
         
  a. Geef de vergelijking van de raaklijn in het punt waar x = 2
       
  b. Geef de vergelijking van de raaklijn in het punt waar x = -0,6
       
4. In deze opgave onderzoeken we een functie f waarvan de afgeleide functie bestaat voor iedere waarde van x. De functie f wordt door twee verschillende formules gegeven:  een formule voor x ≤ 5 en een formule voor x ≥ 5.

Voor x = 5 leveren beide formules dezelfde functiewaarde.

De formule voor x ≤ 5  luidt:  f(x) = -1/2x2 + 4x + 2.
De formule voor  x ≥ 5 kun je bepalen als je gebruik maakt van het volgende extra gegeven:

De grafiek van de afgeleide functie f '  is symmetrisch ten opzichte van de lijn x = 5
     
  a. Teken de grafiek van de afgeleide functie f ' en stel een formule op voor de afgeleide functie f '  voor  x ≥ 3.
     
  Een formule voor de functie f voor x ≥ 3 is van de vorm f(x) = ax2 + bx + c.
     
  b. Bereken a, b en c.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)