© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Andere Vormen
Tot nu toe zagen we een boel formules met breuken. Die waren eigenlijk steeds van de vorm y = a + b/(cx + d)

Natuurlijk kunnen breuken op allerlei andere manieren in vergelijkingen voorkomen.
De hoofdregels om eventuele asymptoten op sporen blijven daarbij:
   
Verticale asymptoot:   bij delen door nul
Horizontale asymptoot:  bij een heel grote (positief of negatieve) x.
   
Hier zijn een paar voorbeelden van andere breuken en de manier om ze te "onderzoeken".
   
voorbeeld 1.  

 
Wanneer wordt er door nul gedeeld?  Als x = 2 dus daar zal een verticale asymptoot zitten.
Vul voor x een heel groot (positief of negatief) getal in en je ziet dat er uitkomt y = 3. Dus dat zal een horizontale asymptoot zijn. Dat geeft een grafiek ongeveer als hiernaast.
   
voorbeeld 2.  

 
Als je de noemer schrijft als  (x - 2)(x - 3) zie je dat die nul wordt
voor x = 2 en x = 3. Er zullen daarom TWEE verticale asymptoten zijn!
Vul voor x een erg groot (positief of negatief) getal in en je vindt een horizontale asymptoot  y = 0. De grafiek zal dus zowel links als rechts naar de x-as lopen.

 
 
voorbeeld 3.  

 
Deze grafiek zal een asymptoot hebben bij x = 2.
Maar als x < 2 dan bestaat de grafiek niet, want dan staat er de wortel uit een negatief getal. De grafiek zal daarom alleen aan de rechterkant van de asymptoot x = 2 bestaan.
 
 
OPGAVEN
 
1. Onderzoek het gedrag (de asymptoten) van de volgende functies. 
a.   d.  
         
b.   e.  
         
c.   f.  
2. a.  Geef een formule voor een functie met verticale asymptoot x = 6 en die niet bestaat voor x < 6
       
b.  Geef een formule voor een functie die een verticale asymptoot heeft bij x = -3 en overal positief is.
       
c.  Geef een formule van een  functie met een verticale asymptoot y = 5 en een horizontale x = 2.
3. Het blijkt dat tegenwoordig steeds minder mensen nog contant geld op zak hebben. Dat lijkt ook logisch want het wordt immers steeds gemakkelijker om digitaal te betalen.
Een onderzoek onder de klanten van een grote supermarkt levert het volgende model:
       
 

       
  Daarbij is t het jaar met t = 0 in het jaar 2000, en P het percentage van de mensen die nog contant geld op zak hebben.
a. In welk jaar zal volgens dit model voor het eerst minder dan 30% van de mensen nog contant geld op zak hebben?
     
b. Hoeveel procent van de mensen zal op de lange duur nog contant geld op zak hebben?
       
4. Gegeven zijn de functies:
 

         
  a. Welke waarde van p hoort er bij de grafiek hiernaast?

       
  b. De grafieken van alle fp  gaan door hetzelfde punt.
Onderzoek welk punt dat is, en leg met behulp van de formule uit waarom alle grafieken daar doorheen gaan.
       
  c. Voor welke p heeft de grafiek een horizontale asymptoot  y = 8?  
         
5. Gegeven is de functie:  
 

         
  a. Schets eerst de grafiek van f(x) zonder je GR te gebruiken.
         
  b. Plot nu met je GR de grafieken van f(x) en van  g(x) = √(10x)
Het lijkt erop alsof de grafieken elkaar raken (dat betekent dat ze één gemeenschappelijk punt hebben).
Onderzoek algebraïsch of dat inderdaad zo is.
         
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)