Snelheid.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Oké, we gaan terug naar het beeld van dat autootje dat een paar lessen geleden over de kromme K reed; hiernaast over de kromme gegeven door:
   
Een voor de hand liggende vraag is natuurlijk:  
 

Wat is de snelheid van dit autootje?
Wat staat er op de kilometerteller?
 
We zagen eerder al dat je de snelheid van zo'n autootje kunt ontbinden in een snelheid vx in de x-richting en een snelheid vy in de y-richting:
 
 

Toen ontdekten we dat vx = x'(t) en  vy = y'(t)
En nu gaan we dit gebruiken: uit de berekende (via de afgeleides) snelheden vx en vy kun je de grootte van v berekenen.

Zie je al hoe? 

Bij het autootje rechts zal het hopelijk duidelijk zijn:  Pythagoras!!!     v2 = vx2 + vy2 , dus:
 
 
   
Voorbeeld:

De kromme hiernaast wordt gegeven door:

Bereken de baansnelheid op  t = 2

Oplossing:
x '(t) = 3t2 - 2  dus  x '(2) = 10
y '(t) = -2t  dus  y '(2) = -4
Dan is  v = √(102 + (-4)2)= √116
   
 
 
  OPGAVEN
1. Punt P volgt een kromme K die eruit ziet als een lus. De plaats van punt P op tijdstip t  wordt gegeven door:
 
 

   
  Zie de figuur hiernaast.
     
  a. Geef de coördinaten van het laagste punt van deze lus.
     
  b. Bereken de snelheid op t = 1.
     
  c. Onderzoek in welk punt van deze kromme de snelheid van punt P minimaal is.
     
2. Een hyperbool is een bekende wiskundige figuur, die bestaat uit twee takken. Een parametervoorstelling van een hyperbool is bijvoorbeeld:

   
 

   
  Hiernaast zie je de bijbehorende figuur.
Laten we een punt P bekijken dat deze hyperboolbaan volgt.
   
  a. Bereken de snelheid van punt P op het punt waar t = 1/4π.
       
  b. In welke punten heeft P snelheid 2? Geef een algebraïsche berekening.
       
3. Punt P doorloopt een kromme K die gegeven wordt door:
x(t) = t2 - 4t   en   y(t) = 3 - t2 - 2t
Daarin is t de tijd in seconden.

     
  a. Geef een vergelijking van de raaklijn aan K in het punt waarvoor t = 6.
     
  b. Bereken exact de minimale baansnelheid van P.
     
  c. Bereken de lengte van het lijnstuk dat kromme K van de  lijn y = 2x - 6 afsnijdt.
       
4. De bewegingsvergelijkingen:
 

 
       
  (met 0 ≤ t ≤ 2π) beschrijven de baan van een bewegend punt. Deze baan heeft precies vier punten met de x-as gemeen
       
  a. . Bereken de coördinaten van deze punten.
       
  Tijdens de beweging verandert de snelheid van het punt voortdurend. De hoogste snelheid die het punt kan bereiken wordt enkele malen bereikt. Als je de beweging op de GR simuleert lijkt het alsof deze hoogste waarde bereikt wordt bij het passeren van de x-as.
       
  b. Onderzoek of dat inderdaad het geval is.
       
5. De baan van een punt P wordt bepaald door de volgende bewegingsvergelijkingen:
   
 

     
  zie de figuur hiernaast.
     
  a. Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de x-as.
     
  b. P passeert de y-as steeds met dezelfde snelheid.
Bereken de exacte waarde van deze snelheid.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)