© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Een onbekende n, p, k.
Ter herinnering eerst maar even de eigenschappen van het binomiale systeem:
BINOMIAAL:
• zonder terugleggen.
• twee mogelijkheden per keer.
 
aantal experimenten n
kans op succes per keer  p
gevraagd k successen
P(k) = (n  nCr k) • pk • (1 - p)n - k
Eerst even een opmerking over die "twee mogelijkheden per keer". Soms moet je er zelf voor zorgen dat er twee mogelijkheden per keer zijn, door handig te kiezen wat "succes" is en wat "geen succes" is.

Neem bijvoorbeeld het probleem:  Gooi 10 dobbelstenen, wat is de kans op 5 zessen?
De saaie wiskundige zal zeggen:  "Er zijn elke keer geen 2 mogelijkheden, maar 6 want je kunt elke keer immers 1,2,3,4,5,6 gooien. Daarom werkt de binomiale verdeling niet"
De creatievere wiskundige zal zeggen: "Als ik nou zes gooien "succes" noem en niet-zes "geen-succes", dan zijn er wél twee mogelijkheden, namelijk zes en niet-zes. Dus kan ik de binomiale verdeling wél gebruiken, met n = 10, p = 1/6 en k = 5".

Dat maakt het aantal toepassingen van de binomiale verdeling al flink groter.

Maar we kunnen deze verdeling nog veel handiger gebruiken in problemen met een onbekende n of  p of k.
Het motto is:

Je kunt ook een X gebruiken!
   
Voorbeeld 1:
Gooi 50 keer met een gewone dobbelsteen. Op welk aantal zessen is de kans gelijk aan 0,084?

Oplossing
Dit is een binomiaal probleem (elke keer twee mogelijkheden, namelijk zes en niet-zes, de kansen elke keer gelijk (1/6))
n = 50, p = 1/6  maar k is onbekend.
Voer in je rekenmachine in  Y1 = binompdf (50, 1/6, X)
Kijk nu bij TABLE bij welke X er 0,084 uitkomt.
Dat is bij X = 11, dus de kans op 11 zessen is ongeveer 0,084.
 

 
Voorbeeld 2:
Hoe vaak moet je een zuiver  muntstuk opgooien zodat de kans op 10 keer KOP gelijk is aan  0,061?

Oplossing
Dit is een binomiaal probleem (elke keer twee mogelijkheden, namelijk KOP en MUNT, de kansen elke keer gelijk (1/2))
n is onbekend,  p = 1/2,  k = 10
Voer in je rekenmachine in  Y1 = binompdf ( X, 1/2, 10)
Kijk nu bij TABLE bij welke X er 0,061 uitkomt.
Dat is bij X = 14  dus je moet 14 keer gooien zodat de kans op 10 zessen gelijk is aan 0,061.
   
Voorbeeld 3.
De kans dat ik met een valse dobbelsteen van de 60 keer gooien zoals verwacht 10 zessen gooi is gelijk aan 12%.
Hoe groot is de kans (in drie decimalen) op zes bij één keer gooien?

Oplossing.
Dit is een binomiaal probleem (60 experimenten, elke keer twee mogelijkheden, namelijk 6 en niet-6, de kansen elke keer gelijk, maar onbekend,  n = 60 ,  p = onbekend,  k = 10)
Voer in je rekenmachine in  Y1 = binompdf ( 60, X , 10) en Y2 = 0,12
Met intersect kun je de gezochte p = X vinden  (window bijv.  Xmin = 0, Xmax = 1, Ymin = 0, Ymax = 0,2)
Dat geeft p = 0,143  of  p = 0,192.
 
Je ziet een klein verschil tussen bovenstaande voorbeelden:  in de eerste twee voorbeelden kijk je in de tabel om de waarde van n of k te vinden. In het derde voorbeeld kun je intersect gebruiken om de waarde van p te vinden.
Dat is natuurlijk logisch:  p is een continue variabele en kan alle waarden tussen 0 en 1 aannemen. n en k zijn discreet en kunnen alleen gehele getallen zijn, dis die kun je niet met intersect vinden.
 

n en k  uit de tabel
p met intersect.
   
 
 
  OPGAVEN
1. Als ik een hele werkweek alle dagen heen en weer terug met de trein naar mijn werk reis zijn dat dus 10 treinreizen.
Voor het aantal keer kaartjescontrole tijdens die 10 reizen geldt het histogram hiernaast. De kansen staan boven de staven (afgerond op twee decimalen).

Hoeveel procent van de reizen wordt er op mijn traject gecontroleerd?

2. Raymond van Barneveld is een uitstekende dart-speler.
Meestal richt hij zijn eerste pijl op de "triple-20". De kans dat hij die raakt is best groot, alhoewel ik niet precies weet hoe groot.
Tegenwoordig worden van alle sporten gelukkig statistieken bijgehouden, en ik las in een artikel dat de kans dat Raymond bij 30 pogingen op de triple-20 precies 25 keer raak gooit gelijk is aan 17%.

Als dat klopt, hoeveel procent van de pogingen van Raymond op de triple-20 zullen dan raak zijn?
3. Een belangrijke bezigheid van middelbare scholieren is de laatste tij het "vapen" (dat is een e-sigaret roken).
Uit een onderzoek van het ministerie van Volksgezondheid blijkt dat maar liefst  28% van de middelbare scholieren wel een vapet.
Dat betekent natuurlijk niet dat in elke steekproef die je zou nemen precies 28% van de scholieren vapet. Dat zou wel heel toevallig zijn.

De kans dat  precies 28% van de scholieren in het onderzoek is 5%, als we aannemen dat voor elke deelnemer de kans dat hij/zij wel eens vapet 28% is.

Hoe groot was de steekproef in dit onderzoek?
4. Gooi 500 keer met een dobbelsteen.
We bekijken de kans dat het verschil tussen het aantal zessen en het aantal niet-zessen gelijk is aan Z.
Voor welke Z is deze kans ongeveer 3%?
   
5. Hoeveel muntstukken moet je op tafel gooien zodat de kans op precies 25 keer  "kop" gelijk is aan 0,045?
   
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)