Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Roosterdiagram en Redeneringen

Dit hoofdstuk staat helemaal in het teken van tellen.

We zullen een aantal best slimme manieren ontdekken om ergens de aantallen van te tellen zonder alles op te hoeven schrijven, maar soms is ook de enige manier gewoon alle mogelijkheden uit te schrijven.
Een voorbeeld:

Priemgetallen zijn gehele positieve getallen die je alleen door 1 en door zichzelf kunt delen.
Hoeveel priemgetallen bestaan er kleiner dan 30?

Ik zo hier werkelijk geen andere manier weten dan ze allemaal op te schrijven.
(Sterker nog; het tellen van de aantallen priemgetallen is nog steeds een niet helemaal opgelost probleem van de wiskunde)
Tel ze zelf maar na, het antwoord staat hiernaast.

antwoord:

10 stuks, kijk maar:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Er zijn twee nadelen aan de methode "alles opschrijven"
Het eerste is, dat je een mogelijkheid kunt vergeten, het tweede is, dat het af en toe wel erg veel werk kan worden.
Daarom gaan we op zoek naar manieren om handiger, en vooral systematischer te tellen.

1. Roosterdiagram.

Het beroemdste voorbeeld daarvan is het gooien met twee dobbelstenen.
Neem de vraag:

Op hoeveel manieren kun je met twee dobbelstenen samen 6 ogen gooien?

Oké, ik geef toe: deze is nog makkelijk gewoon uit te schrijven, maar het gaat nu even om de systematische manier. Kijk naar de figuur hiernaast. Daarin staat op de ene as het aantal ogen van dobbelsteen 1 (groen), en op de andere as het aantal ogen van dobbelsteen 2 (blauw). Op de kruising zetten we het totaal aantal ogen.
Als we de zessen daarvan tellen zien we dat er 5 manieren zijn om met twee dobbelstenen samen 6 ogen te gooien.

't Is misschien wat omslachtig voor zo'n klein probleempje, maar het gaat om de systematische aanpak. Bovendien kun je, als je eenmaal zo'n roosterdiagram hebt, ook aflezen hoeveel manieren er zijn om 7, 8, enz. ogen te gooien.

Nadeel van zo'n roosterdiagram is dat er maar twee dingen op de assen kunnen staan, dus het werkt eigenlijk alleen als je twee dingen samen moet nemen.

Roosterdiagram: Bij combinaties van TWEE dingen.

Beredeneren.

Op sporttoernooien wordt er vaak een halve competitie gespeeld. Dat betekent dat elk team één keer tegen elk ander team speelt.
Een interessante vraag voor de organisatie van zo'n toernooi is:

Hoeveel wedstrijden worden er bij 8 deelnemende teams gespeeld?
Er zijn meerdere manieren om deze vraag te beantwoorden.

manier 1.
Je kunt gewoon alles gaan opschrijven. Noem de teams 1, 2, 3,..., 8
Dan worden de wedstrijden: 1 - 2, 1 - 3, 1 - 4, ....... enz.
Dat is nogal veel werk.

manier 2.
Omdat er steeds TWEE dingen zijn (team 1 en team 2) kun je een roosterdiagram maken.
Dat staat hiernaast.

De kruisjes zijn de wedstrijden die gespeeld moeten worden.
Niet alles is gevuld want een team kan niet tegen zichzelf, en ook als de wedstrijd 1-2 is gespeeld hoeft de wedstrijd 2-1 niet meer.
Hoeveel kruisjes staan er?
Er staan 64 vakjes (8 bij 8).
De diagonaal valt af: blijven er 64 - 8 = 56 over.
De helft daarvan heeft een kruisje: ⁵⁶/₂ = 28 wedstrijden.

manier 3: Beredeneren.
Je kunt zó redeneren:
Elk team heeft 7 tegenstanders dus elk team moet 7 wedstrijden spelen.
Er zijn 8 tams dus dat zouden 8 × 7 = 56 wedstrijden zijn.
Maar dan hebben we elke wedstrijd dubbel meegeteld (namelijk 1-2 en 2-1) dus het echte aantal is de helft hiervan
Dat is 28 wedstrijden.

OPGAVEN.

Ik heb een stapeltje kaarten, bestaande uit zes schoppens. Om precies te zijn schoppen 2 tot en met schoppen 8.
Ik kies er willekeurig twee kaarten uit.

Op hoeveel manieren kan het gebeuren dat de som van die twee kaarten meer is dan 9?

Op hoeveel manieren kan het gebeuren dat het totale aantal deelbaar is door 3?

Hoeveel getallen tussen de 1 en 1000 kun je door 3 delen?

De schijven hiernaast worden gedraaid, en komen dan tot stilstand met bij elke pijl een getal.
Hoeveel mogelijkheden zijn er waarbij de som van die twee getallen kleiner is dan 11?

Hiernaast staat de tekening van een regelmatige tienhoek. Vanaf twee hoeken zijn alle mogelijke diagonalen al getekend.
Hoeveel diagonalen zou dat in totaal geven?

Gooi driemaal met een dobbelsteen.
Op hoeveel manieren kan het voorkomen dat er drie verschillende aantallen ogen worden gegooid?

Genius is een bordspel voor 1 tot en met 4 spelers. Tijdens het spel moeten de spelers tegels op het speelveld plaatsen. Een tegel heeft de vorm van twee zeshoeken die met een zijde aan elkaar vast zitten. Deze tegels zitten in een zak.
Op elke tegel staan twee symbolen. Dat kunnen twee dezelfde symbolen of twee verschillende symbolen zijn. Er zijn zes verschillende symbolen: 12-puntige ster, cirkel, 6-puntige ster, zon, gevulde cirkel en zeshoek. In de volgende figuur zijn vier tegels afgebeeld.

Elke mogelijke tegel met twee dezelfde symbolen komt 5 keer voor. Tegel A in de figuur komt dus 5 keer voor. Elke mogelijke tegel met twee verschillende symbolen komt 6 keer voor. Dus bijvoorbeeld de tegel met een cirkel en een 12-puntige ster (tegel B in de figuur) komt 6 keer voor.

Bereken het totale aantal tegels dat bij Genius wordt gebruikt.