© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Buigpunten.
Bij veel achtbanen is de vorm van de afdaling als hiernaast. Vanaf de top gaat het steeds steiler naar beneden, om op een gegeven moment weer minder steil te gaan lopen, omdat er natuurlijk ook weer afgeremd moet worden.
Een interessante vraag is natuurlijk:  "Op welk punt  is de baan het steilst?"

Laten we deze vraag meteen maar vanuit dit normale Nederlands naar wiskundetaal vertalen. Dan staat er eigenlijk:  Waar is de helling (negatief) het grootst?
Als je aan de grafiek van de baan hiernaast op een aantal plaatsen de raaklijn tekent, dan zie je dat de helling van die raaklijnen eerst groter(negatief) wordt, en daarna weer minder groot:

Ergens bij een punt P is die helling minimaal.
Maar dat betekent dat de afgeleide minimaal is.....
Als een willekeurige functie ergens een  minimum heeft, dan gaat de grafiek daar over van dalend naar stijgend, dus gaat zijn helling daar van negatief naar positief.
Dus als de afgeleide bij P een minimum heeft, dan gaat de helling dáárvan van negatief naar positief.
Dat betekent dat de afgeleide van de afgeleide van negatief naar positief gaat!!!
De afgeleide van de afgeleide noteren we als f''  (spreek uit:  f-dubbel-accent)

Wat stelt die f''  voor?

De f'' (de helling van de helling) geeft aan hoe snel de helling verandert.

f''  positief : de helling neemt toe.
de grafiek stijgt sneller of daalt minder snel.
de grafiek is HOL.

f'' negatief: de helling neemt af.
de grafiek stijgt langzamer of daalt sneller.
de grafiek is BOL.

Zo'n punt waar de grafiek van HOL naar BOL (of andersom) gaat heet een BUIGPUNT.
Buigpunt:
•  f    gaat van hol naar bol (of andersom).
•  f '  heeft een maximum of een minimum.
•  f ''  wisselt van teken.
Hoe spoor ik zo'n buigpunt op?
Dat gaat vrij eenvoudig via de derde eigenschap in het kader hierboven. Als f ''  van teken moet wisselen, dan kan dat alleen maar als f '' gelijk is aan 0 óf als f ''  niet bestaat. Kortom: je lost op f '' = 0 en maakt een tekenbeeld van f '' . Dan zie je vanzelf waar er tekenwisseling is.

Los op  f '' = 0  en maak een tekenbeeld van f ''
   
Voorbeeld 1
Geef de buigpunten van  f(x) =  x3 - 6x2

Oplossing
f ' (x) = 3x2 - 12x  en  f '' (x) = 6x - 12
6x - 12 =  0 ⇒  x = 2 en een tekenbeeld van f ''  ziet er uit als hiernaast.
Bij x = 2 wisselt f ''  van teken dus heeft de grafiek van f een buigpunt.
Dat is dan het punt  (2, -16)		  
   
Voorbeeld 2
Geef de buigpunten van  f(x) = x4 - 12x3 + 54x2

Oplossing
f ' (x) = 4x3 - 36x2 + 108x  en  f '' (x)  = 12x2 - 72x + 108
12x2 - 72x + 108 = 0  ⇒  x = 3 en een tekenbeeld van f ''  ziet er uit als hiernaast.
Er is geen tekenwisseling, dus geen buigpunt.  
Voorbeeld 3
Geef de buigpunten van  f(x) = 3√x

Oplossing
f (x) = x1/3  dus  f ' (x) = 1/3 • x-2/3  en   f '' (x) =  -2/9x-5/3
Dat is nergens nul, maar bestaat niet bij x = 0. 
Een tekenbeeld van f '' ziet eruit als hiernaast.
Daar zie je dat f een buigpunt heeft bij x = 0.
Dat komt omdat de grafiek eruit ziet als hieronder. In de oorsprong gaat de grafiek inderdaad van hol naar bol, dus daar is een buigpunt. Maar de helling in de grafiek is oneindig groot (de raaklijn is verticaal) dus de afgeleide bestaat daar niet. Dus de tweede afgeleide ook niet.
   

   
Alwéér zo'n superhandige toepassing van de tweede afgeleide.....

Als je maxima of minima aan het zoeken bent, dan stel je (uiteraard)  f '(x) = 0.

Maar als daar dan oplossingen van krijgt, dan weet je nog niet of het nou om een maximum gaat of om een minimum of om een buigpunt.
We losten dat tot nu toe op door een tekenbeeld van f ' te maken en te kijken of die van teken wisselde en zo ja, hoe.
Maar dat kan natuurlijk ook met de tweede afgeleide, want die bepaalt of de grafiek hol (een minimum) of bol (een maximum) loopt.
   
Als f ' = 0 dan geldt:
•  Als f '' > 0 dan is er een minimum.
•  Als f '' < 0 dan is er een maximum.
•  Als f '' = 0 dan is het nog onbekend.
   
Voorbeeld.
Bereken de coördinaten van het maximum van de grafiek van y = 4x3 - 2x2 - 8x - 5
f ' = 12x2 - 4x - 8  en dat is nul als  x = 1  of x = -2/3  (ABC-formule)
f '' = 24x - 4.
f '' (1) = 20 dus dat is een minimum
f '' (-2/3) = -20 dus dat is een maximum.
Het maximum is  (-2/3, -47/27)     (door in te vullen in f zelf)

Geen tekenbeeld nodig!!!!!.....
 
 
OPGAVEN
   
1. Geef de coördinaten van de buigpunten van de grafieken van de volgende functies:
         
a. f(x) = 6x5 - 20x3 + 3
         
b. f(x) = 8x2√x - 45x2
         
c.  
         
d. f(x) = xÖx(1 - x2)
2. Hieronder staat de grafiek van een functie. De plaats van de nulpunten, de buigpunten en de extremen is aangegeven.

Vul in de onderstaande tabel overal  = 0  of  < 0  of  > 0   in.
x -4 -3 1 4 6 10 12 14 16 18 20
f                      
f '                      
f ''                      
3. Hieronder zie je drie tekenbeelden:  van  f, van f ’en van f’’ 
Schets een mogelijk grafiek van f die klopt met alle drie deze tekenbeelden
 
 

   
   
4. Gegeven is de functie:    f(x) = 6x3 - 18x2 + 4x + c
Voor welke c valt het buigpunt samen met een nulpunt?
         
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)