© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Combinaties met de normale verdeling.
Bij de oefeningen in deze les is het toepassen van de normale verdeling slechts een onderdeel van een opgave. Je hebt de normale verdeling nodig, maar moet daarmee nog "meer" doen.
Het vaakst zie je dat je eerst met de normale verdeling een kans moet uitrekenen, die je daarna weer moet gebruiken met de binomiale verdeling.
 
Voorbeeld.
Het gewicht van een partij Sunstar appels bij de groenteboer is normaal verdeeld met een gemiddelde van 140 gram en een standaarddeviatie van 15 gram. Een klant koopt van deze partij 12 appels. Hoe groot is de kans dat er meer dan 4 van die appels minder dan 130 gram wegen?

Voor één appel is de kans dat hij minder dan 130 gram weegt gelijk aan  normalcdf(0, 130, 140, 15) = 0,2525
Als we een gewicht van minder dan 130 gram "succes" noemen, dan is het aantal successen binomiaal verdeeld met n = 12 en p = 0,2525. Dan geldt  P(X > 4) = 1 - P(X ≤ 4) = 1 - binomcdf(12, 0.2525, 4) =  0,1628.
   

   
 
 
OPGAVEN
1. De capaciteit van een batterij wordt vaak uitgedrukt in mAh wat staat voor Milliampère-uur. Dit getal drukt uit hoe lang (in uren) de batterij een bepaalde stroom (mA) kan geven (h x mA). Als er dus meer stroom van de batterij wordt gevraagd zal de batterij eerder leeg zijn. 
Paulien gebruikt batterijen van 600 mAh in een tuinlamp. De batterij gaat als hij volledig is opgeladen, 10 uur mee.
Die 10 uur is een vrij grof gemiddelde;  in werkelijkheid is de tijd die de batterij meegaat normaal verdeeld  met een gemiddelde van 10 uur en een standaardafwijking van 1,2 uur.
         
  a. Paulien stopt op een bepaald moment tegelijk 4 volledig opgeladen batterijen in 4 tuinlampen.
9 uur later zijn alle lampen al weer uit.
Hoe groot was vooraf de kans dat dat zou gebeuren?
         
  Paulien besluit betere batterijen te kopen:  ze kiest nu voor  1000 mAh batterijen.
Die gaan gemiddeld 16 uur mee met een standaardafwijking van 1,3 uur.
         
  b. Paulien stopt op een bepaald moment tegelijk 6 volledig opgeladen batterijen in 6 tuinlampen.
Hoe groot is de kans dat 17 uur later twee van de zes lampen nog branden?
   
2. Het gewicht van een partij appels bij de groenteboer is normaal verdeeld met een gemiddelde van 160 gram en een standaardafwijking van 14 gram.
Als een klant een zak met 20 appels uit deze partij kopt, hoe groot is dan de kans dat er minstens 8 appels daarbij een gewicht tussen de 170 en 180 gram hebben?
         
3. De lengte van de staart van pasgeboren Duitse Herders is normaal verdeeld met een gemiddelde van 15 cm en een standaardafwijking van 4 cm.
Wat is de kans dat van 62 pasgeboren Duitse Herders:
         
  a. bij hoogstens 8 de staart langer is dan  20 cm?
     
  b. meer dan 20 een staartlengte tussen 10 en 17 cm hebben?
     
  c. precies 40 een staartlengte hebben die niet meer dan 5 cm van het gemiddelde afwijkt?
         
4. Bij een bierbrouwer produceert men elke dag ongeveer 300 liter bier.
Het alcoholpercentage daarvan moert vrij nauwkeurig gelijk zijn aan  5,6%. In praktijk is het percentage normaal verdeeld met een gemiddelde van 5,6% en een standaardafwijking van 0,2%

Aan het eind van elke dag neemt men een biermonster uit de geproduceerde voorraad om na te meten of het alcoholpercentage nog goed  is.
Bij een afwijking van meer dan  0,4% van de vereiste 5,6% wordt het brouwproces opnieuw afgesteld.
         
  a. Laat zien dat de kans dat de machine, ondanks een correcte instelling, toch opnieuw wordt afgesteld,  bij benadering 4,6% is.
         
  b. Neem aan dat de machine gedurende een periode van twee weken (10 werkdagen) steeds correct is ingesteld. Hoe groot is de kans dat in die periode desondanks meer dan twee keer opnieuw wordt afgesteld?
         
  c. Er wordt een nieuwe brouwinstallatie aangeschaft, die volgens de leverancier aanmerkelijk nauwkeuriger werkt. Men blijft wel gewoon de regels voor controle en opnieuw afstellen zoals hiervoor gebruiken.
Een productiemedewerker berekent dat de kans dat nu onterecht opnieuw wordt afgesteld gelijk is aan 1,2% 
Hoe groot is de standaardafwijking van het alcoholpercentage in de nieuwe brouwinstallatie?
         
5. Het gemiddelde cijfer op de CE-examens wiskunde A is eigenlijk elk jaar gelijk aan 6,8 met een
Ook bij een examen dat moeilijk uitvalt zorgt men er via de normering  (de N-term) voor dat dit resultaat zo constant mogelijk blijft.
Zo bereikt men elk jaar dat 90% van de cijfers 5,5 of hoger zijn.

Hieruit volgt dat de standaardafwijking ongeveer 1 is.
         
  a. Bereken die standaardafwijking in 2 decimalen nauwkeurig.
         
  Neem in het vervolg van deze opgave voor de standaardafwijking 1,0.
Leerringen die 3 of lager scoren zijn al direct gezakt, onafhankelijk van de cijfers op hun andere vakken.

Neem aan dat er in een jaar 23000 kandidaten centraal examen VWO wiskunde A doen.
         
  b. Bereken in procenten nauwkeurig de kans dat er in dat jaar volgens deze gegevens  minstens 5 VWO-leerlingen direct zakken door een 3 of lager op hun CE wiskunde-A.
         
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)