© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Complementregel.
Dat systeem met die kansbomen lijkt een mooi systeem, maar het kan soms wel erg veel werk opleveren.
Neem het volgende probleem:
Bij roulette wordt bij  ieder spel een grote schijf met vakjes die genummerd zijn van 0 tot en met 36 aan het draaien gebracht. De croupier werpt daarna een balletje tegen de draairichting van de schijf in. Na enige tijd blijft het balletje in één van de 37 vakjes liggen. Het nummer van dat vakje is dan het winnende nummer.
Neem aan dat bij elk spel alle nummers gelijke kansen hebben om het winnende nummer te worden. Hoe groot is de kans dat je bij 6 keer spelen minstens twee keer het juiste nummer hebt geraden?
De kansboom bij dit probleem ziet er als volgt uit (per keer is de kans dat je het goed hebt  1/37 en dat je het fout hebt dus  36/37)
Nogal een boom hé?  Naar rechts betekent steeds FOUT en naar links betekent GOED.
Alle gunstige takken eindigen in een paars bolletje. We zouden nu dus al die takken met een paars bolletje moeten uitrekenen (door alle kansen te vermenigvuldigen) en daarna al die takken bij elkaar op moeten tellen.

DAT KAN SNELLER!

We kunnen de methode van grote kansbomen hier natuurlijk gebruiken.
Dat gaat zo:

• De kans op  2 keer goed:  één tak is bijv. GGFFFF met kans (1/37)2 • (36/37)4  en daar zijn er 6 nCr 2 = 15 van, 
dus P(2 goed) =  (1/37)2 • (36/37)4 • 15 = 0,0098195349
• De kans op 3 keer goed:  één tak is bijv. GGGFFF met kans (1/37)3 • (36/37)3  en daar zijn er 6 nCr 3 =  20 van, 
dus P(3 goed) =  (1/37)3 • (36/37)3 • 20 = 0,0003636865
• De kans op 4 keer goed:  één tak is bijv. GGGGFF met kans (1/37)4 • (36/37)2  en daar zijn er 6 nCr 4 =  15 van, 
dus P(4 goed) =  (1/37)4 • (36/37)2 • 15 = 0,0000075768
• De kans op 5 keer goed :  één tak is bijv. GGGGGF met kans (1/37)5 • (36/37)1  en daar zijn er 6 nCr 5 =  6 van, 
dus P(5 goed) =  (1/37)5 • (36/37)1 • 6 = 0,0000000842
• De kans op 6 keer goed:  één tak is GGGGGG met kans en dat is ook de enige tak, 
dus P(6 goed) =  (1/37)6  = 0,0000000004

Samen geeft dat een kans van:  
0,0098195349 + 0,0003636865 + 0,0000075768 + 0,0000000842 + 0,0000000004 = 0,0102

DAT KAN NÓG SNELLER!

Als je naar die enorme boom met al die paarse bolletjes kijkt, dan komt de oplossing als je je het volgende realiseert:

Alle takken samen hebben kans 1.
Dat betekent dat je, als je de kans op alle gunstige takken wilt weten, net zo goed de kans op de NIET gunstige takken kunt berekenen. Wat er dan overblijft is de kans op de gunstige takken. Als de niet-gunstige takken samen bijvoorbeeld kans 0,3 hebben, dan hebben de gunstige takken kans 0,7.
Van de niet gunstige takken zijn er veel minder: kijk maar naar de boom; de takken zonder bolletje zijn veel makkelijker te tellen dan die met. De nog-snellere-berekening gaat als volgt:
• De kans op 1 keer goed:  één tak is bijv. GFFFFF met kans (1/37) • (36/37)5 en daar zijn er 6 nCr 1 =  6 van,
dus P(1 goed) =  (1/37) • (36/37)5 • 6 = 0,1414013025
• De kans op  0 keer goed:  dat is tak FFFFFF met kans (36/37)6 = 0,8484078149
De kans op de rest is dan  1 - 0,1414013025 - 0,8484078149  = 0,0102
De hier gebruikte regel heet de complementregel.
De regel zegt eigenlijk dat, als de kans op gebeurtenis A erg veel werk is om uit te rekenen, je soms handiger de kans op niet-A kunt uitrekenen en die dan van 1 aftrekken.
Dat zal in opgaven vaak voorkomen bij woorden als "minstens" of "hoogstens" of  "meer dan" e.d.
complementregel:  P(A) = 1 - P(niet-A)
   
 
 
  OPGAVEN
1. Op een cadeaulijst staan 10 verschillende cadeaus

Guus heeft 5 van deze cadeaus op zijn verlanglijstje staan.
Hans heeft  4 van deze cadeaus op zijn verlanglijstje staan.

Hoe groot is de kans dat minstens één van beiden het bovenste cadeau van de lijst op zijn verlanglijstje heeft staan?
2. Het burgerservicenummer (BSN) is een uniek persoonsnummer voor iedereen die ingeschreven staat in de Basisregistratie Personen (BRP). Iedereen die zich inschrijft in de BRP krijgt automatisch een BSN.
 Je burgerservicenummer (BSN) staat o.a. op je rijbewijs.
Het nummer bestaat uit 9 cijfers, zoals in het voorbeeld hiernaast.

 Hoe groot is de kans dat er minstens één oneven cijfer in zo'n nummer zit?

 

         
3. De meest gebruikte laboratoriumtest voor de ziekte van Lyme is serologisch bloedonderzoek. Deze tests meten de reactie van het lichaam op de Borrelia-bacterie die de ziekte van Lyme veroorzaakt.
Je kunt online een bloedwaarden test kopen voor  €15,-

Dat is erg goedkoop, maar de test is ook niet heel erg betrouwbaar. De betrouwbaarheid van zo'n test is namelijk 65%.
Dat betekent dat de uitkomst van de test (zowel "wel" of "niet" de ziekte) in 65% van de gevallen klopt.

Iemand wil meer zekerheid en voert 4 zulke bloedwaarden-tests uit.
De uitkomst is dat hij niet de ziekte heeft.
     
  a. Toon met een berekening aan dat de kans dat de tester inderdaad niet de ziekte heeft nu 0,985  is
         
  Je kunt ook een "bloedtest totaalprofiel" kopen. Die heeft een betrouwbaarheid van 92% maar is ook duurder. Die test kost €40.
Een tester bekijkt twee opties om meer zekerheid te krijgen (vergeleken met de 4 bloedwaarden-tests).
optie 1:   meer bloedwaarden test kopen.
optie 2:   een aantal van de bloedwaardentests vervangen door "bloedtest totaalprofiel".

De tester wil graag een betrouwbaarheid van minstens 0,999 krijgen.
         
  b. Bereken welke optie het goedkoopst is om deze betrouwbaarheid te bereiken.
         
4. Vroeger was "touwtje-trekken" een echt Oud-Hollands kermisspelletje.
Daarbij waren een groot aantal touwtjes in een bundel te zien, waarvan sommigen met een cadeautje verbonden waren en sommigen niet. Voor een klein bedragje mocht je dan aan één zo'n touwtje uit de bundel trekken en dan was het spannend of je een cadeautje naar boven haalde of een leeg touwtje.
Als je een cadeautje had getrokken mocht je dat hebben en daarna bond de spelleider een nieuw cadeautje aan dat touwtje. NA elke keer ging het getrokken touwtje terug in de bundel.

Bij een bepaalde touwtje-trek-kraam waren er  70% van de touwtjes met een cadeautje verbonden en 30% niet.
         
  a. Bereken de kans dat iemand drie keer een leeg touwtje trekt.
         
  b. Bereken de kans dat iemand bij 6 spelletjes precies één cadeautje trekt.
         
  Noem het aantal touwtjes met een prijs gelijk aan p (in %)
De kans dat iemand bij 5 spelletjes geen cadeautje trekt is dan gelijk aan:   P = (1 - 0,01p)5
         
  c. Toon dat aan.    
         
  De kermiseigenaar wil ervoor zorgen dat de kans dat een speler bij 5 spelletjes geen enkele maal gecontroleerd wordt hoogstens 5% is.
         
  d. Bereken minstens hoeveel procent van de touwtjes dan een prijs moet opleveren.
         
5. De bak hiernaast bevat, zoals je ziet, tien gekleurde en genummerde ballen met de nummers 1, 2, 3, 4, en 5.

     
  a. Iemand trekt er zonder terugleggen twee ballen uit. Bereken de kans dat de cijfers gelijk zijn.
         
  b. Iemand trekt er met terugleggen drie ballen uit. Bereken de kans dat het gemiddelde van de getrokken cijfers 7 is.
         
  c. Iemand trekt er zonder terugleggen twee ballen uit. Bereken de kans dat zowel de kleur als de cijfers verschillen.
         
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)