© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven  
       
Ik heb  6 lege vazen, genummerd 1 tm 6.
Eerst doet Margriet in zes van die vazen een witte parel. Ze kiest de vazen steeds willekeurig,dus vaker dezelfde vaas kan ook. Daarna doet Jolanda in (weer willekeurig) vier van die vazen een zwarte parel (ze weet niets van de acties van Margriet af, dus zou best een zelfde vaas kunnen kiezen).

Nu kies ik willekeurig één van de vazen.
Hoe groot is de kans dat er minstens één parel in zit?
       
Je kiest drie willekeurige verschillende cijfers (van 0 tm 9)
Vervolgens pak je een willekeurig briefje van 10, 20 of 50 euro. Daar staat een willekeurig getal van 11 cijfers op.
Hoe groot is de kans dat minstens één van jouw drie cijfers op dit briefje voorkomt?
       
Examenvraagstuk

In de gang naar een kluis is een alarminstallatie aangebracht die in directe verbinding staat met de meldkamer op het hoofdbureau van de politie. In het plafond zijn (onzichtbaar) vijf roterende sensoren aangebracht. 's Nachts gaat het alarm automatisch af zodra minstens één van deze sensoren geactiveerd wordt. De sensoren werken geheel onafhankelijk van elkaar. Voor elke sensor afzonderlijk geldt dat de kans op een alarm (de detectiekans) in het geval dat iemand 's nachts de sensor passeert, gelijk is aan 0,45.
       
  a. Toon met een berekening aan dat de kans dat het alarm bij de politie afgaat als iemand 's nachts de sensor passeert gelijk is aan 95%.
       
  De directie vindt deze kans te klein. Zij wil de sensorinstallatie zo laten verbeteren dat de kans op alarm als iemand 's nachts de hele gang aflegt, groter is dan 99,5%. Volgens de chef van de beveiliging kan dit op twee verschillende manieren bereikt worden:
I:  Het aantal sensoren met een detectiekans van 0,45 wordt uitgebreid; per bij te plaatsen sensor kost dit €8000,-
II: Een aantal van de aanwezige sensoren wordt ingeruild tegen een nieuw type met een detectiekans van 0,80. Per ingeruilde sensor kost dit €9000,-.
       
  b. Bereken hoeveel men minimaal moet uitgeven om de sensorinstallatie zodanig te verbeteren dat aan de wens van de directie wordt voldaan.
       

Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2005
   

  Bij de kaartjescontrole in de trein hanteert de NS het begrip controle-intensiteit. Met een controle-intensiteit van 10% op een bepaald traject bedoelt de NS dat er in de spitsuren gemiddeld in 1 op de 10 ritten op dat traject kaartjescontrole plaatsvindt.
We gaan ervan uit dat iemand dan een kans heeft van 10% om bij een rit op dat traject gecontroleerd te worden.

Een reiziger neemt op een dag een retourtje op dit traject (dat zijn dus 2 ritten) Hij reist in de spitsuren. Neem aan dat de controle-intensiteit op dit traject 10% is.
     
  a. Bereken de kans dat hij die dag op dit traject niet wordt gecontroleerd.
     
  Deze reiziger neemt in een bepaalde week op elk van de vijf werkdagen een retourtje op dit traject, waarbij hij steeds in de spits reist.
       
  b. Bereken de kans dat hij tijdens deze werkweek precies één keer wordt gecontroleerd.
   
  Wordt de controle-intensiteit op een bepaald traject gelijk gesteld aan p (in %), dan is de kans dat een reiziger in de spitsuren van een werkweek (10 ritten) geen enkele maal gecontroleerd wordt gelijk aan (1 - 0,01p)10 
       
  c. Toon dit aan.  
       
  De NS wil ervoor zorgen dat de kans dat een reiziger in de spitsuren van een werkweek (10 ritten) geen enkele maal gecontroleerd wordt hoogstens 20% is.
       
  d. Onderzoek hoe groot de controle-intensiteit dan minstens moet zijn.
       
De vaas hiernaast bevat, zoals je ziet, zes genummerde en gekleurde ballen.

     
  a. Iemand trekt er zonder terugleggen twee ballen uit. Bereken de kans dat er gelijke cijfers op staan.
       
  b. Iemand trekt er met terugleggen drie ballen uit. Bereken de kans dat het gemiddelde van de getrokken cijfers 8 is.
       
  c. Iemand trekt er zonder terugleggen twee ballen uit. Bereken de kans dat zowel de kleur als de cijfers verschillen.
     
MEER OPGAVEN
       
6. Bij een televisieshow mag de winnares proberen een prijs te veroveren. Zij krijgt tien deuren te zien. Achter twee van die deuren bevindt zich een prijs. Achter de andere 8 deuren zit helemaal niets. De winnares mag drie deuren openen, en de prijzen die zij tevoorschijn haalt houden.
Bereken de kans dat er minstens één prijs tevoorschijn komt.
       
7. Het verjaardagprobleem
In een klas zitten 30 leerlingen. Er zijn geen tweelingen bij.
Hoe groot is de kans dat er minstens twee op dezelfde datum jarig zijn?
       
8. Er staan zeven mensen op de lift van een hotel te wachten. Als de lift komt stappen ze er allemaal in. Het gebouw waar ze zich in bevinden heeft 25 verdiepingen met elk het zelfde aantal kamers.
       
  a. Hoe groot is de kans dat er minstens twee mensen op dezelfde verdieping moeten zijn?
       
  We zijn verder geïnteresseerd in hoe groot de kans is, als jij één van deze zeven mensen bent, dat er minstens één andere persoon uit de lift bij jou op de verdieping moet zijn.
       
  b. Bereken deze kans als elke verdieping een zeer groot aantal kamers heeft.
       
9. Een gemeenschappelijke kennis?

In Nederland wonen ongeveer 16.000.000 mensen.
Ik kom in de trein naast een willekeurige andere Nederlander te zitten en wij raken aan de praat, en verdomme! Het blijkt dat wij een gemeenschappelijk persoon kennen!!!
Wat een toeval!!!
Of toch niet....???

Laten we eens aannemen (schatten) dat elke Nederlander ongeveer 1000 andere Nederlanders kent. Niet allemaal even goed natuurlijk.

Kies nu een willekeurig persoon uit alle Nederlanders.

De kans dat deze willekeurige Nederlander niet BEIDE mensen in de trein kent is dan ongeveer 0,9999999961. 

       
  a. Toon dat aan.
       
  De kans dat alle 16000000 miljoen Nederlanders deze twee mensen niet beiden kennen is dan ongeveer 0,94.
Dat betekent dat je in 6% van de ontmoetingen een gemeenschappelijke kennis hebt!
       
  b. Toon dat aan.
       
10. Examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 1992
         
  Kansrekening kom je overal in wetenschappelijke publicaties tegen. Helaas is de formulering niet altijd even helder. Hieronder vind je daar een voorbeeld van.
De tekst is afkomstig uit het standaardwerk "De Nederlandse Delta". Het beschrijft de overstromingsramp van 1953. Toen steeg het water bij vloed zo hoog dat een groot deel van Zuidwest-Nederland onder water kwam te staan.
         
 
De ramp...

De stormvloed die in de nacht van 31 januari op 1 februari 1953 ons land overviel kwam als een volslagen verrassing. We wisten wel dat een vloed van een dergelijke hoogte eens zou kunnen voorkomen. Zo'n vloed heeft een frequentie van ongeveer 1/300, dat wil zeggen dat een willekeurige inwoner van het Deltagebied een kans heeft van bijna 25% om een vloed van dit formaat eenmaal in zijn leven mee te maken. Maar zo'n kansberekening sprak niet tot de verbeelding, een eventuele gebeurtenis van deze omvang kon men zich nauwelijks voorstellen. Terwijl in  de rampnacht het vloedwater topt angstwekkende hoogte begon te stijgen, hadden vele Deltabewoners zich dan ook onbekommerd ter ruste begeven.
         
  Er wordt gesproken over een frequentie van ongeveer 1/300. Je zou kunnen denken dat de schrijver bedoelt, dat we per 300 keren vloed gemiddeld 1 keer "een dergelijke hoogte" kunnen verwachten.
De tijd tussen twee opeenvolgende keren vloed is 12 uur en 25 minuten.
Mensen worden gemiddeld 73 jaar oud.
         
  a. Gemiddeld hoeveel keer in een mensenleven zal een dergelijke hoogte dan voorkomen? Licht je antwoord toe.
         
  Omdat in de tekst gesproken wordt van een kans van bijna 25% kan het niet zo zijn dat de schrijver met "een frequentie van ongeveer 1/300" bedoelde:  ongeveer 1 keer per 300 keer vloed. Misschien bedoelde de schrijver wel: gemiddeld 1 keer per 300 jaar.
Neem aan dat voor ieder jaar geldt dat de kans op zo'n vloed 1/300 is.
De schrijver spreekt over "eenmaal in zijn leven". Ga er van uit dat hij "minstens eenmaal in zijn leven" bedoelt.
         
  b. Ga met een berekening na of de uitspraak "....een kans heeft van bijna 25%..." hiermee in overeenstemming is.
         
11. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2008

Alle mensen knipperen met hun ogen. Daardoor staan op groepsfoto’s vaak enkele personen met gesloten ogen. Svenson en Barnes hebben onderzocht hoeveel foto’s je moet maken van een groep van n personen om 99% kans te hebben op een foto waarop niemand zijn ogen dicht heeft. Zij hebben bij hun berekeningen de volgende aannames gemaakt:

− Het knipperen met de ogen gebeurt met onregelmatige tussenpozen;
− Mensen knipperen gemiddeld tien keer per minuut met de ogen;
− Als iemand knippert, zijn de ogen gedurende 0,25 seconden dicht.

Op een willekeurig moment wordt één foto genomen van één persoon. Op basis van de aannames van Svenson en Barnes kunnen we de kans berekenen dat deze persoon niet met gesloten ogen op de foto staat.
       
  a. Bereken deze kans in vier decimalen nauwkeurig.
       
  In de rest van de opgave gaan we ervan uit dat de kans dat iemand met open ogen op de foto staat gelijk is aan 0,96. Bij een groepsfoto spreken we van een ‘geslaagde’ foto als alle personen op de foto hun ogen open hebben.
Een fotograaf neemt één groepsfoto van een groep van 20 personen.
       
  b. Bereken de kans op een geslaagde groepsfoto.
       
  Een fotograaf neemt 5 groepsfoto’s van een groep van 25 personen. De kans dat er minstens één geslaagde foto bij zit is ongeveer 0,89.
       
  c. Toon dat met een berekening aan.
       
 

Als men F groepsfoto’s maakt van een groep van 30 personen, wordt de kans P op minstens één geslaagde groepsfoto gegeven door de formule:

     P =1 - 0,7061F

Een fotograaf wil dat bij een groep van 30 personen de kans op minstens één geslaagde groepsfoto groter is dan 98%.
       
  d. Bereken hoeveel foto’s hij dan minstens moet maken.
   
12. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2003

Een internet provider biedt zijn klanten volledig gratis toegang tot internet aan. Dat klinkt aantrekkelijk, maar in de praktijk valt het tegen, zoals blijkt uit een artikel uit een computertijdschrift blijkt dat maar 1 op de 20 pogingen om een internetverbinding te krijgen succesvol verloopt.
We gaan er in de rest van deze opgave van uit dat bij iedere poging de kans op succes precies gelijk is aan 0,05.

Inge is klant van deze provider. Het computerprogramma dat zij gebruikt om internetverbindingen te maken, probeert na een mislukte poging automatisch opnieuw verbinding te maken.
In theorie kan Inge het computerprogramma net zo vaak laten proberen tot er een verbinding tot stand is gekomen. Het aantal benodigde pogingen noemen we n. De kans dat er precies n pogingen nodig zijn noemen we pn.

Er geldt bijvoorbeeld:  p3 = 0,045125
       
  a. Toon dit aan.  
       
  In de praktijk kan het programma niet meer dan 12 pogingen doen.
       
  b. Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat het computerprogramma een verbinding tot stand brengt.
       
  We nemen nu aan dat Inge het maximale aantal pogingen van de computer zelf kan instellen. We noemen dit maximale aantal M. Inge wil M zó kiezen dat de kans dat er geen verbinding tot stand komt ten hoogste 30% is.
       
  c. Bereken de kleinste waarde van M waarvoor dit het geval is.
   
13. "Een leuk spelletje", zei het duiveltje tegen me. "Soort van balletje-balletje eigenlijk".
"Hier staan twee doosjes, en in één ervan heb ik jouw ziel verstopt. Kies maar....
Kies je goed, dan ben je gered. 
Kies je fout, dan zet ik er een doosje bij, en verstop jouw ziel weer onder één van de doosjes die er staan. Dan mag je wéér kiezen.
Kies je goed dan ben je gered, kies je fout, dan zet ik er weer een doosje bij, en verstop jouw ziel opnieuw......
Zo doen we dat, als het nodig is, 100 keer".

"Als je na 100 keer nog steeds je eigen ziel niet hebt gevonden is hij voor MIJ!!!!"
Voor de kans dat ik gered wordt geldt:
   
 
  a. Toon dat aan
       
  b. Toon aan dat deze som gelijk is aan 100/101
       
14. examenvraagstuk VWO 1981.  
       
  Men speelt een spel met twee schijven A en B, die onafhankelijk van elkaar draaien.
A is verdeeld in vier gelijke sectoren.
B is verdeeld in drie gelijke sectoren.
Elke sector is genummerd met één van de cijfers 1, 2 of 3. Zie de tekening.
Als beide schijven tot stilstand zijn gekomen wijst de vaste dubbele pijl W op elke schijf het midden van een sector aan.
  De stochast Z is als volgt gedefinieerd:  
    Z = 0 als W twee verschillende cijfers aanwijst.
Z = 1 als W twee gelijke oneven cijfers aanwijst.
Z = 2 als W twee gelijke even cijfers aanwijst. 		 
       
  a. Bereken de kansen op deze verschillende mogelijkheden voor Z.
       
  b. Iemand speelt viermaal met beide schijven
Elk spel levert hem een aantal punten op dat gelijk is aan de waarde van Z.
Bereken de kans dat hij in totaal tenminste drie punten haalt.
       
15.

In een grote partij van  300  CD's met computerspellen erop zitten 80 beschadigde CD's.
Ik koop van deze partij  8 CD's.
Hoe groot is de kans op hoogstens 6 beschadigde CD's? Geef je antwoord in 5 decimalen nauwkeurig.
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)