De cosinusregel.  
   
Hiernaast zie je nog een keer de afspraken over naamgeving in een driehoek. Voor de hoekpunten gebruiken we hoofdletters, voor de zijden kleine letters en voor de hoeken Griekse letters.

Met de stelling van Pythagoras, en met sos-cas-toa en met de sinusregel kun je intussen al heel wat driehoeken "berekenen".

Maar er zijn twee gevallen waarbij zelfs die mooie sinusregel niet werkt.
Hier zijn daar twee voorbeelden van:

   

Zie je al dat het niet wil met de sinusregel?
Dat komt natuurlijk omdat je in deze twee gevallen nergens een hoek en de bijbehorende zijde ertegenover weet.

Irritant hé?
   
En toch kunnen we met wat kunst- en vliegwerk toch de andere hoeken en zijden van deze driehoeken berekenen.
Neem de linkerfiguur. Hiernaast is daar een hoogtelijn CD bij ingetekend.

In driehoek ADC geldt dan  cos70º = AD/5  dus  AD = 5 • cos70º
Pythagoras geeft dan:  AD2 + CD2 = AC2
ofwel  (5 • cos70º)2 + CD2 = 52   ⇒  CD2 = 25 - 25 • (cos70º)2

Nu schakelen we over naar driehoek CDB.

DB = AB  AD = 7 - 5 • cos70º  
En dan komt onze goede oude vriend Pythagoras ons weer helpen:  DB2 + CD2 = BC2
Dat geeft met de gegevens hierboven:  (7 - 5 • cos70º)2 + 25 - 25 • (cos70º)2 = BC2
Haakjes wegwerken:   49 - 70cos70º + 25(cos70º)2 + 25 - 25(cos70º)2 = BC2

Hé! Leuk!!
Die stukken met (cos70º)2 vallen tegen elkaar weg!!!    Dan blijft over  BC2 = 49 + 25 - 70 • cos70º
Intoetsen geeft  BC2 ≈ 50,05  dus  BC ≈ 7,07.  Gelukt!
   
Die hele berekening kun je natuurlijk ook met letters doen. Vervang overal de 5 door b en de 7 door c  en de 70º door α. Als je de berekening dan nog een keer opschrijft dan geeft dat de volgende prachtige formule:
 

a2 = b2 + c2 - 2bc • cosα
 

Deze formule heet de cosinusregel.  
   
opgave: Leid zelf de cosinusregel volgens het voorbeeld hierboven af.
   
De cosinusregel ziet er misschien wat ingewikkeld uit, maar valt erg mee als je je maar bedenkt dat die twee letters b en c aan de rechterkant in willekeurige volgorde staan. Het enige waar je aan moet denken is, dat de hoek α tegenover de zijde a moet liggen. Dus: de zijde aan de linkerkant ligt tegenover de hoek.
Bij berekeningen in driehoeken zou ik daarom eerst kijken welke hoek ik wil gebruiken of berekenen en die dan α noemen. Dan is de zijde daartegenover automatisch zijde a en zijn de andere twee b en c.


Waarschuwing.
Denk er goed om dat deze formule algebraïsch gezien eigenlijk bestaat uit 4 stukken.

Als je bijvoorbeeld van de driehoek hiernaast de hoek met het vraagteken wilt berekenen, dan begin je met de zijde ertegenover. Dat geeft:  62 = 42 + 72 - 2 • 4 • 7 • cosα
Dus:  36 = 16 + 49 - 56 • cosα.
Maar nu kun je niet eerst 16 + 49 - 56 uitrekenen!!!!
Die 56 zit namelijk vast aan de cosα.
De goede manier is om eerst de stukken 16 en 49 naar de andere kant te brengen en daarna te delen door die -56.
zo dus:
36 = 16 + 49 - 56 • cosα
⇒  36 - 16 - 49 = -56 • cosα
⇒ -29 = -56 • cosα
⇒ -29/-56 = cosα
⇒ α = cos-1(-29/-56)  ≈ 58,8º
   
Geruststelling:

Je hoeft er bij de cosinusregel niet op te letten of de hoeken stomp of scherp zijn (zoals bij de sinusregel wel nodig was)
De functie cos-1x  geeft een hoek tussen 0º en 180º  dus die doet de stompe hoeken vanzelf goed.
   
OPGAVEN
   
1. Bereken de vraagtekens in onderstaande driehoeken. Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.
       
 

       
2. Bereken de vraagtekens in onderstaande driehoeken. Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.
   
 

 

 
3. Stel dat de twee wijzers van een klok lengtes 8 cm en 12 cm hebben.
Hoe ver zijn de uiteinden dan van elkaar als het half negen is?
       
4. Driehoek ABC heeft AB = 11 en BC = 8 en AC = 4
CD is de hoogtelijn vanuit C.
Bereken de lengte van CD in twee decimalen.
       
5.

   
  Iemand meet vanaf de kust bij Dokkum de hoek tussen de richtingen naar de uiterste punten van Terschelling en de richting naar Harlingen. Dat geeft hoeken van 34 en 40 graden.
Vervolgens meet hij vanaf de kust bij Harlingen weer de hoeken naar de uiterste punten van Terschelling en de richting naar Dokkum. Dat geeft hoeken van 34 en 70 graden.

De hemelsbrede afstand tussen zijn beide meetpunten is 42 km.
Zie de figuur.

Bereken de afstand tussen de beide uiterste punten van Terschelling.
   
 
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)