© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Cumulatieve binomiale verdeling.
Om van een binomiale verdeling een tabel te maken is intussen natuurlijk een makkie (Y1 = binompdf(n, p, X) en dan TABLE). Hiernaast  is dat gebeurd voor n = 10 en p = 0,4. Maar er is een derde kolom aan de tabel toegevoegd......

Die tabel is gemaakt door bij elke k niet de kans op k successen te berekenen, maar de kans op k of minder successen. De rode 0,6331 in de laatste kolom is bijvoorbeeld gevonden door alle rode getallen in de tweede kolom bij elkaar op te tellen. Je zou het een "hoogstens" of  "kleiner-of-gelijk"  kolom kunnen noemen, maar het heet officieel een cumulatieve kolom. 

Merk op dat bij het laatste getal in zo'n kolom altijd 1 staat, immers alle kansen uit de tweede kolom zijn samen 1.

n = 10,  p = 0.4

k P(k) ?
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10		 0,0060
0,0404
0,1209
0,2150
0,2508
0,2007
0,1114
0,0425
0,0106
0,0016
0,0001		 0,0060
0,0464
0,1673
0,3823
0,6331
0,8338
0,9452
0,9877
0,9983
0,9999
1
Maar ehmm... het  NUT?...
Laten we een aantal vragen over n = 10, p = 0.4 bekijken.
Bedenk elke keer dat  P(k = ...) precies de kans op één aantal successen geeft, en P(k ≤ ...)  alle kansen vanaf een aantal successen naar nul toe samen. Je zou het zó kunnen uitbeelden (de stippen stellen aantallen successen voor):

Als we P(k £ 5) eronder tekenen valt al meteen iets op:

Aan de onderste twee zie je eenvoudig dat je P(k = 6) ook uit binomiale tabellen makkelijk kunt vinden door uit te rekenen P(k ≤ 6) - P(k ≤ 5). Immers het verschil van de twee groene balkjes in de onderste twee rijen is precies dat groene blokje uit de bovenste rij.
Andersom is veel lastiger: als je de gewone tabel hebt (losse blokjes) is het veel meer werk om P(k £ 6) te berekenen; je moet dan de kansen van 0 tm 6  bij elkaar optellen.

Bij cumulatieve tabellen hoef je hoogstens twee getallen van elkaar af te trekken.
Hier zijn nog een paar voorbeelden:

P(k > 7) is de bovenste lijn. Maar als je je bedenkt dat alle stippen samen kans 1 hebben (100%; zoals op de tweede lijn) dan zie je ook meteen dat  P(k > 7) = 1 - P(k ≤ 7). Zo heb je er wéér kleiner-of-gelijk van gemaakt.
Nog eentje?

Hier is te zien dat  P(3 ≤ k < 8) = P(k ≤ 7) - P(k ≤ 2)
En zo kunnen we nog wel even doorgaan.
   
Natuurlijk zit ook deze functie op je TI-83.
Misschien had je het al wel geraden:  DISTR - binomcdf (n, p, k)
En natuurlijk kun je ook hier weer bij Y1 =  zo'n formule invoeren met een X erin voor een onbekende n of p of k, net zoals we al bij binompdf hebben gedaan.
Kortom:  onbegrensde mogelijkheden!!!!

   
 
 
OPGAVEN
1. Maak van de volgende kansen steeds "kleiner-of-gelijk" kansen.
             
a. P(k < 12)   e. P(3 < k < 11)  
             
b. P(k > 5)   f. P(k = 1)  
             
c. P(k = 4)   g. P(k ≥ 6)  
             
d. P(k ≥ 22)   h. P(25 ≤ k < 35)  
2. Maak van de volgende Nederlandse tekst steeds "kleiner-of-gelijk" kansen.
         
a. P(minder dan 8 successen) e. P(17 successen)
         
b. P(hoogstens 10 successen) f. P(niet meer dan 10 successen)
         
c. P(meer dan 5 successen) g. P(16 of 17 of 18 successen)
         
d. P(minstens 2 successen) h. P(minder dan 13 maar meer dan 6 successen)
 

 
3. Djoa heeft vandaag een proefwerk Franse woordjes.
Ze heeft het gisteren redelijk goed geleerd; en ze denkt dat ze wel zo'n 80% van de woordjes foutloos kan opschrijven.
Als dat inderdaad klopt, hoe groot is dan de kans dat ze van de 30 woordjes die ze op het proefwerk krijgt er minstens 22 goed heeft?
(het aantal woordjes is zeer groot dus je mag dit beschouwen als een trekking met terugleggen).
4. Bij de Europese roulette zijn de sectoren van de schijf verdeeld in 18 rode, 18 witte en 1 groene  sector.
     
Hiernaast zie je het "Wheel of Fortune" zoals dat in het gelijknamige TV-programma werd gebruikt.

De kandidaten moeten proberen een zin of gezegde te raden.
Om beurten mogen de kandidaten aan een rad hiernaast  draaien, waarop verschillende geldbedragen staan. Daarna mogen ze een letter raden. Voor elke keer dat de geraden letter in het woord voorkomt, krijgen ze het gedraaide geldbedrag.

Je ziet dat er van de 24 sectoren 13 zijn van $500 of hoger.
     
  a. Bereken de kans dat bij 12 keer draaien minstens 5 keer meer dan $500 wordt gedraaid.
     
  Er is één sector "Bankroet"; als je die draait ben je al je geld kwijt.
     
b. Bereken de kans dat bij 20 keer draaien minder dan 3 keer bankroet wordt gedraaid.
5. Ballengooien een razend populair spel op de kermis. Voor een paar euro krijg je 5 ballen en daarmee mag je proberen om alle bussen van de plank te gooien. Als dat lukt heb je een prijs gewonnen.
De eigenaar van de ballengooitent weet uit ervaring dat van alle mensen 25% er in slaagt met vijf ballen alle bussen van de plank te gooien.
Op een avond zijn er  128 mensen die mee hebben gedaan.
Hoe groot is de kans dat het aantal  gewonnen prijzen groter is dan 30 maar kleiner dan 40?
   
6. Het bedrijf  SQPeople heeft vestigingen in bijna alle studentensteden. Bij dit bedrijf probeert men, in opdracht van goede doelen, om mensen als donateur voor die goede doelen te werven. Daartoe gaat men met teams van 2 medewerkers langs de deuren en probeert men met een promotiepraatje de mensen zo ver te krijgen om donateur te worden.
Voordat er op een adres een donateur wordt bijgeschreven moeten er twee dingen gebeuren,
Op de eerste plaats moet er iemand thuis zijn, en op de tweede plaats moet die persoon donateur willen worden.
Dat eerste valt nog wel mee: het blijkt dat 92% van de mensen thuis is. Maar van degenen die de de deur opendoen  is echter slechts 4% bereid om donateur te worden. 
         
  a. Hoe groot is de kans dat er op 20 adressen 15 keer wordt opengedaan?
         
  b. Hoeveel adressen zal een medewerker gemiddeld langs moeten gaan om 10 donateurs te krijgen?
         
  c. Hoe groot is de kans dat van 40 adressen slechts 30 mensen opnemen waarvan er slechts 3 donateur willen worden?
         
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)