Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven

Maak van de volgende kansen steeds "kleiner-of-gelijk" kansen.

P(k < 8)

P(4 < k < 14)

P(k > 2)

P(k = 0)

P(k = 12)

P(k ≥ 13)

P(k ≥ 35)

P(5 ≤ k < 15)

Maak van de volgende Nederlandse tekst steeds "kleiner-of-gelijk" kansen.

P(minder dan 5 successen)

P(11 successen)

P(hoogstens 12 successen)

P(niet meer dan 20 successen)

P(meer dan 9 successen)

P(13 of 14 successen)

P(minstens 3 successen)

P(minder dan 12 maar meer dan 4 successen)

Yorick kan in negen van de tien gevallen van Duits bier het merk vertellen, daarom gaat hij maar eens solliciteren bij slijterij Mitra. Als test krijgt hij 20 keer geblinddoekt een glas Duits bier voorgezet. Als hij minstens 16 keer het juiste merk noemt dan krijgt een baantje.
Bereken de kans dat hij inderdaad een baantje krijgt.

Bij de Europese roulette zijn de sectoren van de schijf verdeeld in 18 rode, 18 witte en 1 groene sector.

Bereken de kans dat in tien ronden het balletje minstens vier keer op rood komt.

Bereken de kans dat het balletje in 70 ronden minder dan 3 keer op groen komt.

Het eerstejaars tentamen statistiek voor psychologiestudenten is elk jaar weer een slachting. Het blijkt dat de kans dat een student het haalt gelijk is aan 0,08.
In een jaar doen 120 studenten het tentamen. Hoe groot is de kans dat het aantal dat het haalt groter is dan 10 maar kleiner dan 20?

Veel studenten verdienen iets bij door het houden van telefonische enquêtes. Dat is niet zo'n dankbaar werk, want voordat je een enquête krijgt ingevuld moet op de eerste plaats de telefoon worden opgenomen, en op de tweede plaats moet degene die opneemt ook nog mee willen werken. Dat eerste valt nog wel mee: het blijkt dat 86% van de mensen de telefoon opneemt. Maar van degenen die de telefoon opnemen is echter slechts 18% bereid mee te werken aan een enquête.

Hoe groot is de kans dat er bij 12 telefoontjes minstens zeven keer wordt opgenomen?

Hoeveel telefoontjes zal een medewerker gemiddeld moeten plegen om 250 enquêtes te krijgen ingevuld?

Hoe groot is de kans dat van 20 telefoontjes slechts 15 mensen opnemen waarvan er slechts 2 willen meedoen?

MEER OPGAVEN

7.	Een basketbalspeler heeft bij een vrije worp kans 40% dat hij raak gooit en kans 60% dat hij mist. Als hij scoort krijgt hij 1 punt.

	a.	Hoe groot is de kans dat hij in 20 worpen meer dan 12 punten scoort?

	b.	Hoeveel worpen moet hij nemen zodat de kans op meer dan 8 punten minstens 90% is?

	c.	Een andere speler neemt een aantal vrije worpen en weet dat voor zijn punten het histogram hiernaast geldt. Bij drie staven zijn de kansen (afgerond in procenten) gegeven. Bereken de kansen op de overige drie staven in één decimaal nauwkeurig.

8.	Er komt weer een barre winter aan in Siberië. De inwoners van het plaatsje Udzha bereiden zich alvast voor op weer extra veel doden. Omdat de grond gaat bevriezen besluiten ze alvast van tevoren genoeg graven te graven. In Udzha wonen 3000 mensen en men gaat er van uit dat de kans dat iemand de winter niet overleeft gelijk is aan 1%. Hoeveel graven moet men graven zodat de kans dat er niet genoeg graven zullen zijn minder is dan 4%?

9.	Je moet een toets met een aantal driekeuze-vragen gaan maken. Je hebt het echter niet zo goed geleerd en weet dat de kans dat je een vraag goed beantwoordt gelijk is aan 48%. Je krijgt een voldoende als je méér dan de helft van de vragen goed hebt. De leraar zegt dat je een even aantal vragen krijgt, maar je mag zelf kiezen hoeveel. Voor hoeveel vragen moet je kiezen om de kans op een voldoende zo groot mogelijk te maken?

10.	Joop staat in een rooster op punt (0,0) Hij gaat wandelen over de roosterlijnen. Elke keer als hij bij een kruising komt gooit hij een dobbelsteen. Bij 1 of 2 gaat hij omhoog (Noord) en bij 3, 4, 5 of 6 gaat hij naar rechts (Oost). Jaap staat in punt (4,6).

	a.	Bereken de kans dat Joop bij Jaap komt.

	b.	Joep staat in punt (9,1) Bereken de kans dat Joop tussen Jaap en Joep doorgaat.

11.	Examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 1993.

	Aanstekers zijn niet allemaal even goed. De ene aansteker heeft een grotere kans om een vlam te geven dan de andere. Zo'n kans noemen we de vlamkans. Neem aan dat voor iedere aansteker geldt dat de vlamkans bij iedere poging gelijk is en onafhankelijk van eerdere pogingen.

	Stel dat een aansteker een vlamkans heeft van 0,8. In het histogram hiernaast is voor k = 1, 2 ,3 aangegeven hoe groot de kans is dat deze aansteker pas bij de k-de poging voor het eerst een vlam geeft.

	a.	Bereken de kansen die horen bij k = 2 en k = 3

	Voordat een aansteker de fabriek verlaat wordt hij getest. Bij een test wordt de aansteker goedgekeurd als hij in maximaal 3 pogingen een vlam geeft. Stel weer dat een aansteker een vlamkans heeft van 0,8. Deze kans is vrij hoog, maar dat betekent nog niet automatisch dat de aansteker wordt goedgekeurd.

	b.	Bereken de kans dat die aansteker goedgekeurd wordt.

	c.	Bij welke vlamkans is de kans dat een aansteker goedgekeurd wordt gelijk aan 95%?

	Andere manieren van testen zijn ook mogelijk. Bijvoorbeeld: elke aansteker wordt 10 keer achter elkaar geprobeerd. Als hij drie of meer keren achter elkaar heeft geweigerd in die serie van 10 wordt de aansteker afgekeurd, anders goedgekeurd. Bij een bepaalde aansteker krijgt men het volgende resultaat bij de test: N N J N N J N N J N (N = werkt niet, J = werkt wel) Deze aansteker wordt dus goedgekeurd.

	d.	Hoeveel verschillende series van 3 keer J en 7 keer N zijn er mogelijk waarbij de aansteker goedgekeurd wordt?

	e.	Hoe groot is de kans dat een aansteker met vlamkans 0,8 goedgekeurd wordt?


12.	Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2001 Een restaurant van een warenhuis bestelt een grote partij perssinaasappels voor de bereiding van verse jus d'orange. De sinaasappels worden aangevoerd in volle dozen van 50 stuks. De ervaring leert dat ongeveer één van de honderd sinaasappels beschimmeld is. Ga er bij de vragen 1, 2 en 3 van uit dat de kans op een beschimmelde sinaasappel 0,01 is. Voor een groot glas jus d'orange zijn drie sinaasappels nodig. Een medewerker pakt aselect drie sinaasappels.

	a.	Bereken de kans dat er precies één beschimmelde sinaasappel bij zit. Geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig.

	De kans op een doos sinaasappels zonder schimmel is ongeveer gelijk aan 0,605.

	b.	Laat met een berekening zien dat dit zo is.

	Bij een kwaliteitscontrole worden vijf volle dozen sinaasappels gecontroleerd. Een doos is "in orde" als er geen enkele beschimmelde sinaasappel in zit. Als vier of vijf van de dozen niet in orde zijn wordt de partij afgekeurd.

	c.	Bereken de kans dat de partij wordt afgekeurd. Geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig.

13.	Examenvraagstuk VWO, Wiskunde B, 2007. Een toets bestaat uit tien meerkeuzevragen. Elke vraag heeft drie alternatieven, waarvan er precies één het juiste antwoord op de vraag geeft. Elke leerling maakt een lijstje met antwoorden. Bij het nakijken wordt er een controle op spieken uitgevoerd. We werken in deze opgave met het volgende model voor leerlingen die goed voorbereid meedoen aan de toets:
	- - -	de kans dat ze bij een vraag het juiste antwoord kiezen is 0,8 de kans dat ze bij een vraag het ene onjuiste alternatief kiezen is 0,1 de kans dat ze bij een vraag het andere onjuiste alternatief kiezen is ook 0,1

	a.	Een leerling die goed geleerd heeft, en dus aan bovenstaand model voldoet, maakt de toets. Bereken de kans dat ten minste één van de tien vragen door hem fout wordt beantwoord.

	Twee leerlingen die beiden goed geleerd hebben, en dus aan bovenstaand model voldoen, maken de toets. De kans dat zij bij een willekeurige vraag hetzelfde antwoord geven is 0,66.

	b.	Toon dit aan.

	De twee leerlingen blijken precies hetzelfde antwoordenlijstje ingeleverd te hebben. Ze hebben dus allebei dezelfde vragen goed beantwoord en bij de fout beantwoorde vragen hebben ze hetzelfde foute alternatief gekozen. De docent vraagt zich af of er gespiekt is. Hij berekent de kans dat twee leerlingen die zich beiden goed op de toets hebben voorbereid en die niet gespiekt hebben, toch precies dezelfde antwoordenlijstjes inleveren. Als deze kans kleiner is dan 1%, zal de docent concluderen dat er gespiekt is en een strafmaatregel treffen. Als deze kans 1% of groter is, zal hij geen strafmaatregel treffen.

	c.	Zal de docent een strafmaatregel treffen? Licht je antwoord toe.


14.	Examenvraagstuk VWO, Wiskunde C, 2013.

	Kakkerlakkensalade is een kaartspel uit Duitsland. Een variant van het spel wordt gespeeld met 112 groentekaarten met daarop de groenten paprika, bloemkool, sla en tomaat. Van elk van deze vier soorten groente zijn er evenveel kaarten. Aan het begin van het spel worden de kaarten geschud en krijgen alle spelers evenveel kaarten. Annet, Beyza, Carin en Dick spelen dit spel. Dick schudt de kaarten en geeft als eerste Annet vier kaarten uit het volledige spel kaarten.

	a.	Bereken de kans dat Annet bij haar eerste vier kaarten precies twee bloemkoolkaarten krijgt.

	Tijdens een vakantie gaan deze vier vrienden het spel 150 keer spelen. Annet is benieuwd hoe vaak de eerste kaart die uit een volledig spel gedeeld wordt een tomaatkaart zal zijn.

	b.	Bereken de kans dat dit vaker dan 37 keer gebeurt.

15.

Je wilt graag 20 appels kopen op de markt.
Bij marktkoopman 1 kosten de appels €0,16 per stuk, maar van zijn appels is 20% verrot.
Bij marktkoopman 2 kosten de appels €0,18 per stuk, maar van zijn appels is 15% verrot.

Bij wie kun je het goedkoopst appels gaan kopen als de kans op minstens 20 goede appels groter dan 99% moet zijn? Hoeveel gaat dat je kosten?

16.

Bij de wedstrijden in de eredivisie voetbal blijkt 30% in gelijkspel te eindigen, 50% in winst voor de thuisspelende ploeg, en 20% in winst voor de uitspelende ploeg.
Een hele competitie bestaat uit 306 wedstrijden.

Bereken de kans op minder dan 170 keer winst voor de thuisspelende ploeg.

Bereken de kans op minstens 80 keer winst voor de uitspelende ploeg.

Bij winst krijgt de winnaar 3 punten en de verliezer 0 punten. Bij gelijkspel krijgen beide ploegen 1 punt.
In de competitie 2010-2011 werden er in totaal door alle 18 teams samen 846 punten gehaald.

Bereken de kans dat die totaalscore voorkomt.

17.

Bij een overtreding bij basketbal mag de speler tegen wie de overtreding werd begaan twee vrije worpen nemen. Elke vrije worp is 1 punt waard.
Het blijkt dat als een speler de eerste vrije worp scoort, hij ook vaker de tweede vrije worp scoort. En omgekeerd als de eerste worp mis is, is de kans groter dat dan ook de tweede worp mis is. Dat zal wel aan de zenuwen van de speler liggen....

Een bepaalde speler heeft bij de eerste worp een scoringskans van 70%.
Bij de tweede worp is de scoringskans 60% of 80%, al naar gelang de eerste worp mis of raak was.

De kans dat een tweede worp raak zal zijn is dan vooraf 74%.

Toon dat aan.

Bereken de kans dat van de 100 tweede worpen er minstens 80 raak zijn.

18.

In de reclamewereld gebeurt het vaak dat men bij een artikel een gratis tegoedbon geeft. Wie die tegoedbon invult en inlevert krijgt dan een bedrag terug op zijn rekening gestort. Het blijkt dat veel mensen vergeten zo'n bon in te vullen.
Van alle uitgedeelde tegoedbonnen wordt gemiddeld slechts 60% inderdaad geïncasseerd.

Stel dat er bij een actie 400 tegoedbonnen zijn uitgedeeld. Hoe groot is dan de kans dat er meer dan 250 worden geïncasseerd?

Een winkelier wil graag zoveel mogelijk tegoedbonen uitdelen, maar hij wil dat de kans dat er meer dan 200 worden geïncasseerd, kleiner is dan 5%.
Hoeveel bonnen kan hij uitdelen?

19.

Cystische Fibrose (CF) is een autosomaal recessief overervende ziekte. Dat betekent dat de ouders van een patiënt drager zijn. CF heet ook wel taaislijmziekte en is voorlopig ongeneeslijk. Als je kinderen wilt krijgen is het daarom erg belangrijk om te weten of je drager van CF bent. In Nederland zijn 1 op de 32 mensen drager van CF.
Alleen als beide ouders drager zijn is er een kans dat het kind CF krijgt.

De kans dat beide ouders drager zijn is ongeveer 0,001.

Toon dat aan.

Bereken de kans dat van 500 koppels er precies 4 zijn waarbij beiden drager zijn.

Bereken de kans dat van 500 koppels er minstens 4 zijn waarbij beiden drager zijn

In Spanje is de kans dat van 500 koppels er precies 4 beiden drager zijn gelijk aan 0,002
Hoeveel procent van de Spanjaarden is drager?

20.

Een agent staat bij een kruispunt verdekt opgesteld om fietsers en automobilisten die door rood rijden te bekeuren.
Het blijkt dat van de fietsers 8% door rood rijdt, en van de automobilisten 2%.

Bereken de kans dat van de 20 fietsers er precies 3 door rood rijden.

Bereken de kans dat van de 50 auto´s er minstens 5 door rood rijden.

Op een dag deelt de agent onder 540 weggebruikers (auto´s en fietsers) in totaal 24 bekeuringen uit.

Hoeveel fietsers verwacht je dat er zijn geweest?

21.

Schaakvereniging D4 uit Oosterhout organiseert in 2011 in buurtcentrum Strijen een schaaksimultaan met 's werelds één na jongste grootmeester in het schaken, Anish Giri (15).

Omdat Giri natuurlijk een veel betere schaker is, schat de voorzitter de kans dat een clubspeler van Giri wint voor iedereen 3%. De kans op gelijkspel schat hij 10% en dus de kans op verlies 87%

Er doen in totaal 45 schakers mee aan de simultaan.

Hoe groot is volgens de voorzitter de kans dat Giri alle partijen wint?

Hoe groot is volgens de voorzitter de kans dat Giri minstens 10 partijen niet wint?

Hoe groot is volgens de voorzitter de kans dat Giri 5 partijen verliest en 30 partijen wint?

22.

De leerlingen van een klas hebben geen zin om hun wiskundeproefwerk te maken. Ze besluiten daarom te gaan spijbelen. Maar als er teveel leerlingen gaan spijbelen dan zal de leraar waarschijnlijk als wraak het inhaalproefwerk veel en veel moeilijker maken.
Daarom spreken de leerlingen het volgende af:

Iedereen gooit met een dobbelsteen.
• Wie 6 gooit mag spijbelen.
• Wie 5 gooit krijgt nog een herkansing: als hij die tweede keer 6 gooit mag hij spijbelen.
• Wie 4 of minder gooit moet naar het proefwerk.

Als er 23 leerlingen in de klas zitten, hoe groot is dan de kans dat er minder dan 18 bij het proefwerk komen opdagen?

23.

Hiernaast zie je een zeer eenvoudig "doolhof" .
Iemand staat in de hoek linksonder. Elk keer als hij op een kruispunt staat en hij kan kiezen uit Noord of Oost dan gooit hij een dobbelsteen .

Bij 1 of 2 gaat hij in noordelijke richting (in de figuur omhoog) en bij 3, 4, 5 of 6 gaat hij in oostelijke richting (in de plattegrond naar rechts).

Anders dan Noord of Oost mag hij niet gaan.

Bereken de kans dat deze persoon uit dit doolhof ontsnapt.

24.

Een jury van 20 mensen moet gaan beslissen of een verdachte schuldig is of onschuldig.
Voor een veroordeling moet een meerderheid van de jury de verdachte schuldig vinden. Er is al bekend dat 5 mensen de verdachte schuldig vinden, en 4 vinden hem onschuldig. De rest van de juryleden zal een muntstuk opgooien om te bepalen of de verdachte schuldig of onschuldig is!
Hoe groot is de kans dat de verdachte veroordeeld gaat worden?

25.

Hoe groot moet een groep willekeurig gekozen mensen minstens zijn zodat de kans dat er minstens 3 op 19 maart jarig zijn minstens 50% is? Ga uit van jaren van 365 dagen.

26.

examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 1989.

Ieder jaar zijn de Nederlandse bungalowparken in het pinksterweekend volgeboekt. Huurders van bungalows dienen dus tijdig te reserveren.

De eigenaar van een bungalowpark met 16 bungalows weet uit ervaring dat gemiddeld 1 op elke 5 huurders niet komt opdagen. Daarom besluit hij meer huurders in te schrijven dan er bungalows zijn. Hij loopt dan wel het risico op overbezetting, namelijk als er meer huurders komen opdagen dan er bungalows beschikbaar zijn.

Stel dat hij 19 huurders inschrijft.

Bereken voor dit geval de kans op overbezetting.

Natuurlijk is het vervelend om in geval van overbezetting huurders te moeten teleurstellen. De eigenaar wil daarom dat de kans op overbezetting niet groter is dan 10%.

Hoeveel huurders mag hij maximaal inschrijven voor de 16 bungalows? Licht je antwoord toe.

27.

examenvraagstuk HAVO wiskunde B, 2006.

Er wordt veel onderzoek gedaan naar mogelijkheden ter bestrijding en voorkoming van plantenziektes. De volgende vragen gaan over risico's dat planten besmet raken. De situaties bekijken zijn daarbij sterk vereenvoudigd.

In de eerste situatie bekijken we een veldje waarop men 's ochtends 10 gezonde planten plant, en twee rijen van vijf. Zie de figuur hiernaast. We nemen aan dat elke gezonde plant per dag een kans van 0,3 heeft om besmet te raken.

Bereken de kans dat op de eerste dag alle planten van de linkerrij wel besmet raken en alle planten op de rechterrij niet besmet raken. Rond je antwoord af op vier decimalen.

De tweede situatie gaat over een experiment waarbij op een zeker moment 40 gezonde planten aan besmetting blootgesteld worden. We nemen ook hier aan dat elke gezonde plant per dag een kans van 0,3 heeft op besmetting

Bereken de kans dat op de eerste dag van het experiment meer dan 12 planten besmet zullen raken.

28.

examenvraagstuk VWO wiskunde A, 2003.

De kans dat een startend bedrijf een jaar "overleeft" (dat wil zeggen dat het bedrijf aan het eind van dat jaar nog bestaat) is normaal gesproken gelijk aan 0,9. Die kans geldt elk jaar weer.
Bij een steekproef worden uit de landelijke gegevens van de Kamers van Koophandel willekeurig 50 startende bedrijven geselecteerd.

Bereken in twee decimalen nauwkeurig de kans dat van de 50 startende bedrijven na 1 jaar minstens 45 bedrijven nog bestaan.

Gemeente A heeft door goede begeleiding van startende bedrijven weten te bereiken dat de jaarlijkse overlevingskans voor die bedrijven in deze gemeente op 0,95 uitkomt. Het beleid is erop gericht dat in deze gemeente jaarlijks 144 bedrijven starten. Een ambtenaar heeft namelijk berekend dat er dan "een heel grote kans" is dat na 5 jaar tenminste 100 van deze bedrijven nog bestaan.

Bereken in twee decimalen nauwkeurig hoe groot die kans is.

29.

examenvraagstuk VWO wiskunde A, 2008.

Een imker verkoopt in glazen potten twee soorten honing: koolzaadhoning en boekweithoning. De imker heeft drie keer zoveel koolzaadhoning als boekweithoning. Daarom wordt 75% van de glazen potten gevuld met koolzaadhoning en 25% met boekweithoning.

De klanten van de imker brengen de glazen potten terug, waarna de imker de potten schoonmaakt. De imker kan de ingeleverde potten daarna opnieuw met honing vullen. Dat gebeurt willekeurig. Het kan dus gebeuren dat een pot de ene keer gevuld is met koolzaadhoning en de andere keer met boekweithoning.

Bereken de kans dat een pot na 10 keer vullen minstens 5 keer is gevuld met koolzaadhoning.

30.

examenvraagstuk VWO wiskunde B, 2003.

Ter gelegenheid van een jubileum organiseert een grote universiteit een loterij. Elke student krijgt één lot. Er vinden twee trekkingen plaats. Bij de eerste trekking wordt bepaald op welke nummers een hoofdprijs van € 500,- valt. Deze nummers worden teruggedaan en uit het totaal worden vervolgens de nummers getrokken waarop een troostprijs van €100,- valt. Op 5% van de loten valt een prijs van €500,- en op 20% van de loten een prijs van €100,-
Op één lot kunnen dus zowel een hoofd- als een troostprijs vallen.

Thomas is één van de studenten die zo'n lot gekregen heeft.

Toon aan dat de kans dat Thomas minstens één prijs wint, gelijk is aan 0,24.

Een studentenvereniging bestaande uit 20 studenten spreekt af dat ieder lid het gewonnen prijzengeld in de clubkas stort. Aan het eind van het studiejaar zal er dan een activiteit georganiseerd worden die betaald wordt met het prijzengeld.

Bereken in drie decimalen nauwkeurig de kans dat minstens acht leden van de studentenvereniging in de prijzen vallen.

31.

examenvraagstuk VWO wiskunde B, 2008.

Patiënten lopen na een operatie in het ene ziekenhuis veel meer gevaar een infectie te krijgen dan in het andere. In het jaar 2003 werden in een bepaald ziekenhuis 120 heupoperaties uitgevoerd, waarna 6 patiënten een infectie kregen. De directie vond het percentage van 5% infectiegevallen te hoog en nam extra preventieve maatregelen. In 2004 werden 154 heupoperaties uitgevoerd, met nu 2 infectiegevallen. Men vroeg zich af of dit betere resultaat toeval was of door de extra preventieve maatregelen kwam.

Bereken de kans op hoogstens 2 infectiegevallen bij 154 operaties voor het geval dat de kans op infectie per operatie 0,05 is.

Omdat de zojuist berekende kans klein is, neemt men aan dat na de extra preventieve maatregelen de kans op infectie na een operatie is afgenomen. De kans op infectie na een operatie na de extra preventieve maatregelen noemen we p.

Bereken voor welke waarde van p geldt: de kans op hoogstens 2 infectiegevallen bij 154 patiënten is 0,05.

32.

examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2011.

We bekijken een verzekeringsmaatschappij met 800 klanten. We gaan ervan uit dat elke klant maximaal één schadegeval per jaar mag indienen. De kans dat een klant een schadegeval indient, is 0,01.

Bereken de kans dat er in een jaar precies 6 schadegevallen worden ingediend.

De kans dat er in een jaar 20 of meer schadegevallen worden ingediend, is al erg klein. Bij 20 schadegevallen moet de verzekeringsmaatschappij slechts 200000 euro uitbetalen

Bereken de kans dat de verzekeringsmaatschappij in een jaar 200000 euro of meer moet uitbetalen.

33.

examenvraagstuk VWO wiskunde A, 2010.

Een hulpmiddel om minder te gaan roken is het gebruik van tabletten van het merk Fumostop.
Om na te gaan of Fumostop een middel is dat inderdaad helpt, wordt het volgende onderzoek uitgevoerd.
van een groep van 18 zware rokers krijgt iedereen10 tabletten die uiterlijk niet van elkaar verschillen. De tabletten zijn verpakt in doordrukstrips met bij elk tablet een nummer.

Elke proefpersoon moet 10 dagen lang bij het opstaan één willekeurig gekozen tablet innemen, het nummer van dat tablet noteren en bijhouden hoeveel sigaretten hij die dag rookt.
Wat de proefpersonen niet weten maar de onderzoekers wel, is dat 5 van de tabletten inderdaad van het merk Fumostop zijn. De andere 5 tabletten bevatten geen enkele werkzame stof. We geven de ‘echte’ tabletten aan met F en de andere tabletten met NF. Aan de genoteerde tabletnummers kunnen de onderzoekers zien wanneer de F- en de NF-tabletten ingenomen zijn.

Nico is één van de 18 proefpersonen. Bereken de kans dat hij om de dag een F-tablet inneemt, waarmee bedoeld wordt dat hij de ene dag een F-tablet en de andere dag een NF-tablet inneemt.

Bereken hoe groot de kans is dat 6 of meer proefpersonen op de eerste dag van het onderzoek een van de tabletten met nummer 1 of 2 kiezen.

34.

examenvraagstuk VWO wiskunde C, 2011.

Tijdens een wereldkampioenschap reden 26 van de 40 schaatsers hun snelste tijd op de 500 meter in de rit waarin zij de laatste bocht in de buitenbaan reden.
We zijn geïnteresseerd in de kans dat een schaatser zijn snelste tijd rijdt in de rit waarin hij de laatste bocht in de buitenbaan rijdt. Deze kans noemen we p.
We nemen eerst aan dat het niet uitmaakt of een schaatser de laatste bocht in de binnenbaan of in de buitenbaan rijdt. Dan geldt p = 0,5 .

Bereken de kans dat dan minstens 26 van de 40 schaatsers hun snelste tijd op de 500 meter rijden in de rit waarin zij de laatste bocht in de buitenbaan rijden.

Bij nader inzien is p waarschijnlijk groter dan 0,5. Er bestaat één waarde van p waarbij de kans het grootst is dat precies 26 van de 40 schaatsers op de 500 meter hun snelste tijd rijden in de rit waarin zij de laatste bocht in de buitenbaan rijden. Bereken deze waarde van p

35.

examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2014.

Sinds een paar jaar is er een test waarmee je kunt bepalen of je versta-problemen hebt. Bij deze test krijg je 10 woorden te horen met achtergrondlawaai. Je moet op het antwoordformulier aangeven welk woord je gehoord hebt. Per woord zijn er vier keuzemogelijkheden.

Bereken op hoeveel verschillende manieren je het antwoordformulier kunt invullen.

In de test is bij elk woord één van de vier keuzemogelijkheden ‘niet verstaan’. Miranda vraagt zich af: stel dat je bij geen enkel van de 10 woorden kiest voor ‘niet verstaan’, maar telkens willekeurig kiest uit de overige 3 mogelijkheden.

Hoe groot is dan de kans dat je 5 of minder goede antwoorden hebt?

36.

examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2014.

Marleen neemt elke dag de trein naar school. Elke schooldag moet ze om 8:30 uur op school zijn. Ze bekijkt de dienstregeling en ziet dat een trein om 8:20 uur op het station vlak bij school aankomt. Zelfs als de trein maximaal drie minuten vertraging heeft, kan ze nog op tijd op school komen. Bij grotere vertraging is ze te laat. Ze kan een trein eerder nemen, maar dan is ze meestal 30 minuten te vroeg op school.
In het jaar 2009 reed 86,6% van de treinen op tijd. De trein is volgens de Nederlandse Spoorwegen (NS) op tijd als de vertraging maximaal drie minuten is. Neem aan dat de kans dat de trein van Marleen op tijd is iedere dag gelijk is aan 0,866.

Laat met een berekening zien dat de kans dat Marleen in één week met vijf lesdagen steeds op tijd op school zal zijn, kleiner is dan 50%.

Als een leerling in een schooljaar 9 of meer keren zonder goede reden te laat is gekomen, moet de school dit melden aan Bureau Leerplicht. Marleen neemt elke dag de trein die volgens de dienstregeling om 8:20 uur aankomt. Ze komt alleen te laat door een vertraagde trein.

Veronderstel dat een schooljaar 38 lesweken heeft met elk vijf lesdagen. De schoolleiding bekijkt halverwege het schooljaar welke leerlingen moeten worden gemeld bij Bureau Leerplicht. De kans dat Marleen wordt gemeld, is behoorlijk groot.

Bereken de kans dat Marleen na 19 weken al 9 of meer keren te laat is gekomen.

Marleen schrikt hiervan. Omdat ze vindt dat ze toch een redelijk reisplan heeft, vraagt Marleen aan haar school wat soepeler te zijn. De school geeft toe, ze mag voortaan maximaal één dag per week te laat komen.
Ze kan nu dus officieel 0, 1, 2, 3 of 4 dagen per week te laat komen. Als ze bijvoorbeeld in een week 3 dagen te laat zou komen, wordt ze officieel 2 dagen als te laat geregistreerd.
Van het aantal keren dat Marleen nu in één week officieel te laat komt, wordt een tabel gemaakt. Zie de tabel.

Aantal keren per week officieel te laat

aantal	0	1	2	3	4
kans	0,864	0,117	0,018	0,001	0,000

Toon met berekeningen aan dat de kansen bij de aantallen 0 en 1, afgerond op drie decimalen, gelijk zijn aan 0,864 en 0,117.

37.

Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2008.

Een bekend spel is ‘Eén tegen 100’. Hierin moet één kandidaat het opnemen tegen 100 tegenspelers. In deze opgave wordt gewerkt met een vereenvoudigde versie van het spel.

Bij dit spel worden er vragen gesteld waarbij steeds drie mogelijke antwoorden worden aangeboden. Eén daarvan is het goede antwoord.
Als de kandidaat dit goede antwoord kiest, gaat hij door naar de volgende vraag. De tegenspelers die het goede antwoord hebben gegeven, gaan ook door naar de volgende vraag. De rest valt af. Als de kandidaat een fout antwoord geeft, is het spel afgelopen.

De eerste vraag is voor de kandidaat geen probleem. Van de 100 tegenspelers weten er 48 het goede antwoord. De overige 52 tegenspelers kiezen elk willekeurig één van de drie mogelijke antwoorden.

Bereken de kans dat er bij het begin van de tweede vraag nog meer dan 65 tegenspelers over zijn.

Voordat de tweede vraag gesteld wordt, zijn er nog 70 tegenspelers over. Ook bij de tweede vraag weet de kandidaat weer het goede antwoord. Bij een deel van de tegenspelers is dit ook het geval. De rest kiest weer willekeurig één van de drie mogelijke antwoorden. Na vraag 2 blijken er nog 54 tegenspelers over te zijn.

Bereken hoeveel van de 70 tegenspelers bij vraag 2 naar verwachting hebben gegokt.

38.

examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2016-II (gewijzigd)

In het jaar 2000 is een langlopend onderzoek gestart naar de levensduur van ouderen. Er werd gestart met een onderzoeksgroep van 508 mannen en 219 vrouwen die in dat jaar 65 geworden waren. Al deze mensen waren willekeurig geselecteerd.
De mannen in de onderzoeksgroep een kans van 0,52 hadden om ten minste 80 jaar te worden, voor de vrouwen was die kans kans 0,71

Bereken de kans dat precies de helft van de mannen in de onderzoeksgroep ten minste 80 jaar wordt.

Bereken de kans berekenen dat meer dan 150 maar minder dan 165 vrouwen in de onderzoeksgroep de leeftijd van 80 jaar bereiken.

Het langlopende onderzoek duurt voort zolang nog minimaal 50 mannen en minimaal 50 vrouwen uit de onderzoeksgroep in leven zijn. De onderzoekers vragen zich af hoe groot de kans is dat dit in het jaar 2025 het geval is.
De kans dat een willekeurige vrouw uit de onderzoeksgroep in 2025 nog in leven is, is 0,26. Voor een man is deze kans.
De kans dat er in 2025 nog minimaal 50 mannen uit de onderzoeksgroep in leven zijn, is 0,816.

Bereken de kans voor één willekeurige man uit de onderzoeksgroep dat hij in 2025 nog in leven is.

Bereken de kans dat het onderzoek in het jaar 2025 nog steeds voortduurt.


© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)