© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Stijgen en Dalen
 
Wat stijgen of dalen van een grafiek betekent dat weet natuurlijk iedereen wel. We komen de termen stijgen en dalen erg vaak in het dagelijkse leven tegen. Neem de volgende verzameling krantenkoppen:
   

   
Al deze koppen gaan over stijgen of dalen van iets. En toch is er eentje iets anders dan de anderen. En dan bedoel ik niet die ene die rood is, ik bedoel wiskundig inhoudelijk anders.

Zie je welke?......

Het is de kop:  "Afname ijsmassa versnelt"
Zie je waarom die anders is????

De kop zegt niet alleen dat de ijsmassa afneemt (dus daalt)  maar ook nog eens dat die afname toeneemt (versnelt)!!!
Het zegt dus iets over de verandering van de verandering.

STIJGENDE DALING?
   
Jazeker!  Ook de daling zélf kan natuurlijk toenemen (sterker worden) of afnemen (minder sterk worden). En ook de Stijging. Iets dat daalt  of stijgt kan nou eenmaal harder of minder hard gaan dalen/stijgen toch?
Als je ook op verandering van de verandering let zijn er wat dat betreft vier mogelijkheden:
   

   
We nemen aan dat op de x-as steeds de tijd staat en dat die naar rechts toe toeneemt.
   
Gemiddelde toenames
       
Hiernaast staat de grafiek van het temperatuurverloop op 6 februari 1995 in Groningen. Je ziet dat vanaf middernacht de temperatuur eerst nog wat afneemt, maar vanaf ongeveer 3 uur gaat toenemen tot maximaal ongeveer 12,5 ºC om 15 uur.

We zijn nu geïnteresseerd in de volgende vraag:

Wat is de gemiddelde toename per uur tussen 3 uur en 9 uur?

We lezen uit de grafiek af dat om 3 uur te temperatuur ongeveer 3,5ºC was en om 9 uur 8 ºC.

De toename is dus  8 - 3,5 = 4,5ºC geweest maar dat was over een periode van  9 - 3 = 6 uur.
De gemiddelde toename was dus 4,5/6 = 0,75 ºC/uur.
Zo. Dat was te doen. Voor de gemiddelde toename deel je gewoon de totale toename door het aantal uur. Tijd voor de volgende vraag:

"Wat stelt het voor in de grafiek?"

De totale toename was 4,5ºC en die vonden we door 8 - 3,5 te berekenen. Dat is dus het verschil van beide y-waarden, ofwel Δy: het blauwe lijnstukje in de grafiek hiernaast.

Het aantal uur was 6 en dat vonden we door 9 - 3 te berekenen. Dat is dus het verschil van beide x-waarden, ofwel Δx:  het groene lijnstukje in de grafiek. De gemiddelde toename hebben we berekend als Δy/Δx en die kennen we nog van vroeger: het is de helling van de lijn tussen beide punten.
Conclusie:  de helling van de rode lijn is 0,75
 
De gemiddelde toename tussen twee punten van een grafiek is  de helling van de rechte lijn daartussen.

Deze gemiddelde toename heet ook wel het differentiequotiënt.
Als je een formule voor de grafiek hebt, dan hoef je de y-waarden natuurlijk niet af te lezen maar kun je ze gewoon berekenen, dat is veel nauwkeuriger.

Dit is allemaal hetzelfde:

       
• gemiddelde toename tussen punt A en punt B
• differentiequotiënt op interval  [xA, xB]
• helling van lijnstuk AB
•
       
Speciaal geval:  Als y  de afstand voorstelt en x de tijd.
       
n de grafiek hiernaast staat op de x-as de tijd dat iemand aan het fietsen is, en op de y-as de afstand die hij heeft afgelegd.
We berekenen het differentiequotiënt tussen x = 20 en x = 60
Bij x = 20 hoort ongeveer y = 2 en bij x = 60 hoort ongeveer  y = 15
Dat geeft voor het differentiequotiënt  (15 - 2)/(60 - 20) = 13/40 = 0,325

Die 0,325 is dus de totale afgelegde afstand (13 km) gedeeld door de totale tijd (40 minuten).  In dit geval 0,325 km per minuut. Maar dat is de snelheid (immers snelheid is afstand gedeeld door tijd)
Kortom, de gemiddelde snelheid tussen 20 en 60 minuten is 0,325 km/min. (dat is 19,5 km/uur)

 

Bij een tijd-afstand grafiek is het differentiequotiënt de gemiddelde snelheid.
       
 
                                       
  OPGAVEN.
       
1. a. Gegeven is de formule  N = 4t + 2√t .
Bereken het differentiequotiënt op interval [3, 8] in twee decimalen nauwkeurig.
       
  b. Gegeven is de formule  P(t) = 5t - 2/t
Bereken het differentiequotiënt op interval [-5, -2] in twee decimalen nauwkeurig.
       
2. Hiernaast staat de grafiek van een formule  f.
     
  a. Bereken de gemiddelde toename
tussen x = 12 en x = 20
     
  b. Noem drie intervallen waarop het differentiequotiënt gelijk is aan nul.
       
3. Annelies en haar broer Gerben gaan met de fiets naar school.
De afgelegde weg s als functie van de tijd t staat in de grafiek hieronder.
       
 

       
  a. Bereken voor Annelies de gemiddelde snelheid.
       
  b. Wie rijdt de eerste twee minuten gemiddeld het snelst?
       
  c. Wie rijdt tussen t = 3,5 en t = 4 het snelst? Hoe zie je dat aan de grafiek?
       
  d. Wanneer passeert Gerben Annelies? Hoe zie je aan de grafiek dat hij op dat moment sneller rijdt?
       
  e. Bepaal zo goed mogelijk met welke snelheid Gerben fietst op het moment dat hij Annelies inhaalt.
       
4. Hiernaast zie je de grafiek van twee joggers (mevrouw A en mevrouw B) die hetzelfde parcours lopen. Zoals je ziet vertrekt mevrouw B later dan mevrouw A.

     
  a. Bereken de gemiddelde snelheid van mevrouw B gedurende het eerste half uur dat zij loopt.
     
  b. Bereken de gemiddelde snelheid van mevrouw A gedurende het tweede half uur dat zij loopt.
       
  c. De beide dames hebben een loophorloge om met GPS functie. Dat horloge geeft o.a. hun gemiddelde snelheid vanaf het begin aan.
Op welk moment tijdens haar loop geeft het horloge van mevrouw A de grootste gemiddelde snelheid aan?
       
 
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)