© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Dingen bij elkaar optellen....
Het gaat er natuurlijk niet om gewoon dingen bij elkaar op te tellen, maar om oneindig veel dingen (meestal functiewaarden) op te tellen die steeds van grootte veranderen. Dat klinkt nogal vaag, maar een voorbeeld zal waarschijnlijk een boel duidelijk maken.

In het examen wiskunde B1 van 2004 tijdvak 2 stond de volgende opgave.
   
In een zeker gebied wordt een grote toename van de bevolking voorzien. Om de daarmee gepaard gaande problemen het hoofd te kunnen bieden, heeft men een schatting nodig van de grootte van de bevolking voor de komende jaren. Daarvoor stelt men het volgende model op voor de grootte van de bevolking:  B(t) = 228 • e0,1t
Hierin is B het aantal mensen in duizenden en t de tijd in jaren.
Het komende jaar loopt van t = 0 tot t = 1. In deze opgave werken we met jaren van 360 dagen en maanden van 30 dagen.
(....)
Voedseldeskundigen hanteren als vuistregel: per persoon is er per dag 0,4 kg vast voedsel nodig.
De totale benodigde hoeveelheid vast voedsel voor de inwoners van het gebied in het komende jaar noemen we V (in kg).
Iemand wil berekenen hoe groot V is.
(....)
 
Stel eerst een formule op voor de jaarbehoefte op tijdstip t: 
V(t) = B(t) • 0,4 • 1000 • 360  = 32832000 • e0,1t    waarbij t in jaren is.

We willen nu graag het voedsel van dag 1 plus dat van dag 2 plus.....plus dat van dag 360 uitrekenen, en die dingen allemaal bij elkaar optellen. Die voedselhoeveelheden variëren omdat de bevolkingsgrootte varieert.

We willen dus optellen:    V(0/360) • 1/360  + V(1/360) • 1/360   + ... + V(359/360) • 1/360
Dat kan in één keer met een integraal. Denk aan de Riemann sommen van ooit...

Dat is gelijk aan  32832000 • 1,0517 = 34529716 kg voedsel.
 
Als je een serie functiewaarden optelt die dicht bij elkaar liggen dan geldt:
 

 
Nog een keer hetzelfde voorbeeld.....

Het voorbeeld hierboven kan natuurlijk ook opgelost worden door de voedselbehoefte per dag te bekijken, in plaats van per jaar.
Dan geldt:   B(d) = 228 • e0,1d/360    met d het dagnummer.
Het voedsel op elke dag optellen geeft dan:
V =  0,4 • 1000 • (228 • e0,1 • 1/360 + 228 • e0,1 • 2/360 + ...  +  228 • e 0,1 • 360/360) 
En al die dingen optellen geeft weer een integraal: 
 

= 328320000 • 0,10489 = 34438503
Gelukkig ongeveer hetzelfde antwoord. Het verschil zit hem in die ene dag verschil (d = 0 is nu niet meegeteld).
   
Beroemd voorbeeld:  De ontsnappingssnelheid aan de aarde.
   
Als je een voorwerp (een kogel of zo) wegschiet van de aarde, dan trekt de aarde die kogel terug. De aarde verricht arbeid op de kogel. Maar hoe verder de kogel weg is, des te kleiner wordt de aantrekkingskracht van de aarde. De vraag is nu: hoeveel bewegingsenergie moeten we de kogel meegeven om al die "terugtrekarbeid" van de aarde te overwinnen?

De kracht tussen twee voorwerpen met massa M en m is gelijk aan:
 
 
Daarin is G een constante (6,68 • 10-11 ) en M en m de massa's in kg en r de afstand in meter en F de kracht in Newton.
Maarde =  5,97 • 1024  en  Raarde = 6378 km.
Dat betekent dat  F(r)  = 3,99 • 1014 • m • 1/r2
Op een klein stukje dr  is deze kracht ongeveer constant en verricht een arbeid  dW.
De totale verrichte arbeid door de aarde op de kogel als de kogel van r = R naar r = ∞ gaat is dan gelijk aan:
6,25 • 107 m   ⇒  v2 = 1,25 • 108  ⇒  v = 11183  m/s =  11,2 km/s.

(in werkelijkheid nog groter omdat we de luchtwrijving hebben verwaarloosd).
   
 
 
 OPGAVEN
1. Op een Petrischaal in een laboratorium bevindt zich een bacteriekolonie. De schaal is luchtdicht afgesloten en bevat 100 ml zuurstof. Het aantal bacteriën (N) wordt steeds groter. Er geldt  N(t) = 200 • e0,06t   met t de tijd in uren.

Elke bacterie verbruikt per uur  0,05 ml zuurstof  5 • 10-5 ml).
De hoeveelheid zuurstof die de hele kolonie  tussen t en t + dt verbruikt (in ml)  is dan gelijk aan  10 • e0,06t • dt
Bereken hoe lang het duurt voordat de hele zuurstofvoorraad van de schaal verbruikt is.
       
2. Gegeven is de volgende meetkundige reeks:   80 - 96 - 115,2 - 138,24 - 165,888 - .....
We willen graag de som van de eerste 50 termen van deze reeks bepalen.
Benader deze som met een integraal.
       
3. Om een veer vanuit ruststand in te drukken is een kracht F = -c • u nodig, waarbij c een constante is, afhankelijk van het soort veer, en u de uitwijking vanaf de ruststand van de veer.
 
     
a. Een bepaalde veer heeft c = 40  N/m.
Hoeveel arbeid moet je verrichten om deze veer vanuit rustpunt 12 cm in te drukken?
     
b. Een kruisboog kun je spannen door een veer met  c = 80 N/m  20 cm uit te trekken en dan met een haakje vast te zetten.
Dan leg je er een pijl (van 50 gram) in,  en met de trekker trek je het haakje ineens los. De veer ontspant zich en zet alle opgeslagen veerenergie om in bewegingsenergie van de pijl (E = 1/2mv2)
Welke snelheid heeft de pijl op het moment dat hij losraakt van de veer?
     
     
4.

Op de bodem van een 200 meter diepe mijnschacht staat een emmer  gevuld met kolen die in totaal 166 kg weegt (emmer + kolen). Aan de emmer zit een stalen kabel die per meter 0,2 kg weegt.

Hoeveel arbeid is er nodig om de emmer (+ kabeldeel) 200 meter omhoog te takelen?
     
5. Functies van de vorm  f(x) = a - b • e-ct  beschrijven processen die asymptotische groei vertonen.  Hiernaast zie je de grafiek van één van zulke functies.
     
  a. Bepaal a, b en c voor deze grafiek.
     
  De functie met a = 150, b = 80 en c = 0,03 beschrijft de groei van een maïsplant. Daarbij is t de tijd in dagen.
     
  b. Bereken de gemiddelde lengte van deze maïsplant over de eerste honderd dagen van zijn groei.
       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)