© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven  
       
Op een Petrischaal in een laboratorium bevindt zich een bacteriekolonie. De schaal is luchtdicht afgesloten en bevat 100 ml zuurstof. Het aantal bacteriën (N) wordt steeds groter. Er geldt  N(t) = 100 • e0,04t   met t de tijd in uren.

Elke bacterie verbruikt per uur  0,06 ml zuurstof  (6 • 10-5 ml).
De hoeveelheid zuurstof die de hele kolonie  tussen t en t + dt verbruikt (in ml)  is dan gelijk aan  6 • e0,04t • dt
Bereken hoe lang het duurt voordat de hele zuurstofvoorraad van de schaal verbruikt is.
       
Gegeven is de volgende meetkundige reeks:   100 - 110 - 121 - 133,1 - 146,41 - 161,051 - .....
We willen graag de som van de eerste 50 termen van deze reeks bepalen.
Benader deze som met een integraal.
       
Om een veer vanuit ruststand in te drukken is een kracht F = -c • u nodig, waarbij c een constante is, afhankelijk van het soort veer, en u de uitwijking vanaf de ruststand van de veer.
       
  a. Een bepaalde veer heeft c = 40  N/m.
Hoeveel arbeid moet je verrichten om deze veer vanuit rustpunt 12 cm in te drukken?
       
  b. Een jongetje heeft een katapult gemaakt door een veer met  c = 30 N/m  15 cm in te drukken en dan met een haakje vast te zetten. Daarna legt hij er een knikker (van 20 gram) voor en maakt het haakje los. De veer ontspant zich en zet alle opgeslagen veerenergie om in bewegingsenergie van de knikker (E = 1/2mv2)
Welke snelheid heeft de knikker op het moment dat hij losraakt van de veer?
       
Een touw weegt  0,8 kg/m. Het is 2 meter lang. Het ligt in zijn geheel op de grond. Iemand pakt een uiteinde vast en gaat het touw langzaam optillen. Dat doet zij totdat het uiteinde 2 meter boven de grond is, en het andere uiteinde dus precies de grond raakt.
Om het bovenuiteinde van het touw van hoogte h naar hoogte h + dh te brengen moet ze een kracht F = m • g uitoefenen. (g is de zwaartekrachtsversnelling en die is ongeveer 9,8 m/s2  en m is de massa van het touw dat al in de lucht hangt) Dat moet over een afstand dh, dus dat kost kracht  mg • dh

Hoeveel arbeid heeft zij na afloop in totaal verricht?
       
Functies van de vorm  f(x) = a - b • e-cx  beschrijven processen die asymptotische groei vertonen.  Hiernaast zie je de grafiek van één van zulke functies.

     
  a. Bepaal a, b en c voor deze grafiek.
     
  De functie met a = 200, b = 190 en c = 0,05 beschrijft de groei van een zonnebloem. Daarbij is x de tijd in dagen.
     
  b. Bereken de gemiddelde lengte van deze zonnebloem over de eerste honderd dagen van zijn groei.
     
MEER OPGAVEN
       
6. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2004-1

Een nieuw industrieterrein grenst aan een recht kanaal en heeft de vorm van een rechthoek OABC. OA = 400 m en OC = 200 m. Zie de figuur hiernaast.

De grondprijs is afhankelijk van de afstand tot het kanaal: hoe dichter bij het kanaal, hoe duurder de grond.
Het verband tussen de grondprijs P (in euro per m2) en de afstand tot het kanaal x (in meters) wordt gegeven door de formule 
P(x) = 100 • 0,998x

De totale grondprijs van het terrein is te bepalen door rechthoek OABC in rechthoekjes met lengte 200 meter en breedte Dx meter te verdelen.

  In de figuur is één zo'n rechthoekje getekend op x meter van het kanaal. De totale grondprijs is dan bij benadering de som van de grondprijzen van deze rechthoekjes.

Bereken de totale grondprijs met behulp van een integraal.
       
7.

       
  Iemand gooit een pijltje op een dartboard met straal R.
Het pijltje komt op een willekeurige plek van het bord terecht.

Je kunt zo'n dartbord beschouwen als stroken met dikte dr. De kans dat het pijltje in zo'n strook terechtkomt is dan evenredig met de oppervlakte ervan.

De gemiddelde afstand van het pijltje tot het middelpunt is de verwachtingswaarde van alle afstanden.
Wat is de gemiddelde afstand van het pijltje tot het middelpunt van het bord?
       
8. Teken in een cirkel willekeurig twee koorden AB en CD
Hoe groot is de kans dat die elkaar snijden?
       
 

       
9. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2006

In de figuur hiernaast staat een kwart van de eenheidscirkel met O(0,0), A(1,0) en B(0,1).
Op tijdstip t = 0 start een punt P in A en beweegt langs de cirkelboog AB; op tijdstip t heeft P de coördinaten (cos t, sin t). Q is de loodrechte projectie van P op de y-as.
We bekijken de oppervlakte V van het trapezium OAPQ op tijdstip t waarbij t in het interval  〈0, 1/2π〉 ligt.

De oppervlakte V van het trapezium is  1/2sin t + 1/4sin 2t

     
  a. Toon dit aan.
       
  De oppervlakte van het trapezium OAPQ verandert op het tijdsinterval á0, 1/2pñ  voortdurend. In de figuur hiernaast is de grafiek van V getekend als functie van t op dit tijdsinterval.
De gemiddelde oppervlakte van het trapezium OAPQ over het tijdsinterval á0, 1/2pñ  noemen we k. In de figuur hiernaast is de lijn y = k getekend.

Er geldt: de oppervlakte van het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van V, de t-as en de lijn t = 1/2p is gelijk aan de oppervlakte van het gebied dat wordt ingesloten door de horizontale lijn y = k, de t-as , de y-as en de lijn t = 1/2p.

       
10. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2006  
       
  In de figuur hiernaast is de grafiek getekend van een functie f
De gemiddelde functie waarde van f op het interval [3, 5] is:

De uitkomst noemen we dus  

Bij de volgende vraag kiezen we voor f de functie f(x) = x2

       
  a.
Bereken de exacte waarde van 
       
  We kiezen nu voor f de functie  f(x) = p • ex .
 
Voor een bepaalde waarde van p geldt: 
       
  b. Bereken deze waarde van p in twee decimalen nauwkeurig.
       
11. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2007.
       
  Bij een practicumproef draait een doorzichtige cirkelvormige schijf in een verticaal vlak om zijn middelpunt M . Deze schijf heeft een straal van 1 meter. Tussen twee punten op de rand van de schijf wordt een staaf AB met lengte 1 meter bevestigd. De punten op de rand van de schijf hebben een constante snelheid van 1 m/s. Het geheel wordt beschenen door een bundel verticaal invallende evenwijdige lichtstralen. In deze opgave bekijken we de lengte van de schaduw A′B′ van de staaf op de grond. We maken een wiskundig model bij deze proef. We kiezen het assenstelsel in het draaivlak van de schijf, met de x -as langs de grond en de y -as door het middelpunt M van de schijf. De bewegingsvergelijkingen van A en B zijn:

       
 

       
  Hierbij zijn  x en y in meter en is t in seconde.
De lengte (in meter) van de schaduw A′B′ op tijdstip t noemen we l(t) .
Voor elke waarde van t tussen 0 en π geldt: l(t) = sint .
       
  a. Toon dit langs algebraïsche weg aan.  
       
  Om de gemiddelde schaduwlengte g van AB (in meter) te berekenen, kunnen we ons beperken tot een halve omwenteling: 0 ≤ t ≤ π .
       
  b. Toon aan dat er geldt:  g = 2/π
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)