stochasten optellen

	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Stochasten optellen.

Deze les gaan we kijken wat er gebeurt als je meerdere dingen die van kansen afhangen (stochasten) bij elkaar optelt.
Laten we beginnen twee volomen verschillende dingen bij elkaar op te tellen.

Zomaar als experiment.

Stel dat ik uit de vaas hiernaast willekeurig 4 knikkers pak, en tel hoeveel roden erbij zijn. Daarna draai ik de schijf, en tel het getal dat de schijf oplevert bij dat aantal rode knikkers op. Dan krijg ik een nieuw getal.

Hoe zit het met dat nieuwe getal?
Wat is het gemiddelde?
Wat is de standaarddeviatie?

Eerst maar eens apart uitrekenen.....

Voor het aantal rode knikkers geldt de volgende kansverdeling (je had uiteraard het vaasmodel herkend toch?)

aantal rood	0	1	2	3	4
kans	0,0707	0,3535	0,4242	0,1414	0,0101

Rechts zie je dat geldt E = 1²/₃ en σ = 0,841

Precies hetzelfde voor de schijf is nog eenvoudiger:

cijfer van de schijf	1	2	3
kans	¹/₃	¹/₃	¹/₃

Rechts zie je dat geldt E = 2 en σ = 0,816

En daarna bij elkaar opgeteld....

Als je het aantal rode ballen optelt bij het getal van de schijf, dan variëren de mogelijke uitkomsten nu van 1 (nul rode en schijf 1) en tot en met 7 (4 roden en schijf 3).
Dat geeft de volgende kansverdeling:

som	1	2	3	4	5	6	7
kans	0,0236	0,1414	0,2828	0,3064	0,1919	0,0505	0,0034

Rechts zie je dat geldt E = 3²/₃ en σ = 1,172

Wat hebben die getallen met elkaar te maken?

Nog even samengevat:
We vonden E₁ = 1²/₃ en E₂ = 2 en E_som = 3²/₃
En we vonden σ₁ = 0,841 en σ₂ = 0,816 en σ_som = 1,172

Ik denk dat je het verband tussen die E's wel ziet: E_som is gewoon die andere beide E's bij elkaar opgeteld.

Maar hoe zit het met de standaarddeviaties?

Wat is het verband tussen 0,841 en 0,816 en 1,172 ???

Dat is lastig te zien.
Totdat je je realiseert dat de standaarddeviatie werd uitgerekend als de wortel van iets.
Neem de drie standaarddeviaties in het kwadraat, dan krijg je 0,707 en 0,666 en 1,374.
Waarschijnlijk valt nu op dat die laatste de som van die andere twee is (het kleine verschil komt door afrondfouten).
Ofwel: σ_som² = σ₁² + σ₂² . Kortom:

E_som= E₁ + E₂ + ...
σ_som² = σ₁² + σ₂² + ...

Speciaal geval: Dezelfde dingen bij elkaar optellen.

Dat komt erg vaak voor, namelijk elke keer als je een "experiment" vaker uitvoert. Een eenvoudig voorbeeld is bijvoorbeeld het gooien van 5 dobbelstenen en de ogen ervan optellen. Dat is natuurlijk precies hetzelfde als vijf keer één dobbelsteen gooien.

Voor het gooien van één dobbelsteen is de kansverdeling erg eenvoudig, dus zijn de verwachtingswaarde en de standaarddeviatie makkelijk uit te rekenen.
Hiernaast zie je dat geldt E = 3,5 en σ = 1,7078

Dan geldt voor de som van vijf dobbelstenen:
E = 3,5 + 3,5 + ... = 5 · 3,5 = 17,5
σ² = 1,7078² + 1,7078² + ... = 5 · 1,7078² = 14,5829 dus σ = 3,82

Dat gaat een stuk makkelijker dan als je een kansverdeling voor alle vijf de stenen samen moet maken!!!

Als we n dezelfde dingen bij elkaar optellen geeft dat:

E_som = E₁ + E₂ + .... = E + E + .... = n · E
σ_som² = σ₁² + σ₁² + .... = σ² + σ² + ..... = n · σ² dus σ_som = √(n · σ²) = σ√n

Dit laatste heet de √n - wet:

tel n dezelfde dingen bij elkaar op:

E_som = nE
σ_som = σ√n

De binomiale verdeling.

Dat laatste: dingen bij elkaar optellen gebeurt eigenlijk altijd bij de binomiale verdeling. Daar werden het "aantal successen" geteld bij n experimenten.
Als je nou de verwachtingswaarde en de standaarddeviatie van het aantal successen bij één experiment weet, dan kun je met bovenstaande regels voor E en σ makkelijk uitbreiden naar n experimenten (bij de binomiale verdeling zijn die n experimenten allemaal gelijk, dus je telt automatisch alleen dezelfde dingen bij elkaar op).

Laten we E en σ voor één experiment gaan uitrekenen.
Als de kans op succes gelijk is aan p, dan ziet de kansverdeling daarvan er zó uit:

één experiment, kans op succes p
aantal successen X	kans
0 1	1 - p p

De verwachtingswaarde is dan E = 0 · (1 - p) + 1 · p = p
Voor de standaarddeviatie gaan we de tabel uitbreiden met (X - E) en (X - E)² :

één experiment, kans op succes p
aantal successen X	kans	(X - E)	(X - E)²
0 1	1 - p p	0 - p 1 - p	p²(1 - p)²

De gemiddelde kwadratische afwijking is dan (1 - p) · p²+ p · (1 - p)² = p² - p³ + p - 2p² + p³ = p - p² = p(1 - p)
De standaarddeviatie bij één experiment is daar dan de wortel van: σ = √(p(1 - p))

Bij n dezelfde experimenten kunnen we nu de eerder gevonden regels voor de verwachtingswaarde en de standaarddeviatie gebruiken: E_som = n · E = n · p
en σ_som = σ√n = √(p(1 - p)) · √n = √(np(1 - p)).

Conclusie:

voor de binomiale verdeling geldt:
E = n · p en σ = √(np(1 - p))

OPGAVEN

1.	De schijf hiernaast wordt 12 keer gedraaid en elke keer wordt het getal bij de pijl genoteerd. Hoe groot zullen het gemiddelde en de standaardafwijking van de som van al die getallen zijn?

2.	Philip maakt een getal van 0 tot en met 9 door 9 munten op tafel te gooien en het aantal keer KOP te tellen. Nina maakt een getal van 0 tot en met 9 door van een willekeurig bakbiljet uit haar portemonnee het eerste cijfer te nemen (neem aan dat alle cijfers even vaak voorkomen)

	a.	Beredeneer zonder berekening te maken wie van beiden de grootste standaardafwijking zal krijgen.

	b.	Bereken beide standaardafwijkingen.

3.	Femmy moet bij een quiz een aantal GOED/FOUT vragen beantwoorden, maar ze heeft geen idee over de antwoorden, dus ze moet alles gokken. Voor elk goed antwoord krijgt ze een punt. Na 8 stappen heeft zij een aantal punten gekregen, en het gemiddelde daarvan is uiteraard 4.

	a.	Hoe groot is de standaardafwijking van dit aantal punten ?

	b.	Op een gegeven moment is de standaardafwijking van het aantal punten gelijk aan 2. Hoe groot is de verwachtingswaarde van het gemiddeld aantal punten op dat moment?

	Femmy is geslaagd als ze in totaal 20 vragen goed heeft. Na 15 vragen zit ze daar dus nog een aantal vanaf.

	c.	Wat zijn de standaardafwijking en de verwachtingswaarde van dat aantal dat ze nog tekort heeft?

4.	Iemand heeft 10 dobbelstenen waarmee je 1 tm 8 kunt gooien plus 6 dobbelstenen waarmee je 1 tm 6 kunt gooien. Als zij al deze 16 dobbelstenen in één keer gooit, en het totaal aantal ogen telt, wat zijn dan de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van dat aantal ogen?

5.	In de eredivisie voetbal spelen er elk jaar 18 teams mee. Bij de TOTO kun je inzetten op uitslagen van voetbalwedstrijden. Voor elke wedstrijd geef je dan aan of je denkt dat het winst voor het thuisspelende team of verlies voor het thuisspelende team of gelijkspel zal worden. Dat moet je dus voor 9 wedstrijden doen.

	a.	8 mensen hebben het TOTO-formulier voor een bepaalde speeldag geheel willekeurig ingevuld. Noem het aantal wedstrijden dat zij gelijkspel hebben genoemd X. Bereken de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van X.

	b.	Iemand anders heeft op zijn formulier 3 keer winst, 3 keer verlies en 3 keer gelijkspel ingevuld. Neem aan dat hij willekeurig heeft gekozen welke wedstrijden hij winst noemde, welke verlies en welke gelijkspel. Noem het aantal keer dat hij bij de eerste 5 wedstrijden van het formulier winst heeft voorspeld X. Bereken de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van X.


© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)