speciale driehoeken

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Drie speciale driehoeken.

Er zijn drie speciale driehoeken waarvan de hoeken en lengtes exact te berekenen zijn, en die komen deze les aan de orde. Kortom: doe de rekenmachine maar weg, we gaan lekker alles weer exact berekenen.

Het leuke is: ze hebben ook nog eens erg veel te maken met wortels!!! Nou, wat wil je nog meer?

Het gaat hier om de volgende drie driehoeken.

60 - 60 - 60

Een driehoek met alle hoeken 60º heet een gelijkzijdige driehoek.
Alle zijden zijn even lang.

Veel meer valt er eigenlijk niet over te vertellen.

45 - 45 - 90

Dat heet ook wel een gelijkbenige rechthoekige driehoek. Je geo-driehoek is er een mooi voorbeeld van.
Als je de rechthoekszijden lengte x geeft, dan geldt voor de schuine zijde s:
s² = x² + x²
s² = 2x²
s = √(2x²) = x√2

Kortom: de zijden hebben verhouding 1 - 1 - √2

30 - 60 - 90

Dit is eigenlijk de helft van een gelijkzijdige driehoek (teken hem er maar onder gespiegeld tegenaan en je hebt een gelijkzijdige driehoek). Dat betekent dat de schuine zijde dubbel zo groot is als die ene rechthoekszijde.

Noem de kleinste rechthoekszijde x, dan is de schuine zijde dus 2x.
Noem de andere rechthoekszijde r, dan geeft Pythagoras:
x² + r² = (2x)²
x² + r² = 4x²
r² = 3x²
r = √(3x²) = x√3

Kortom: de zijden hebben verhouding 1 - 2 - √3

Met deze verhoudingen kun je dus nu de zijden altijd exact geven, dus hoef je niet af te ronden!

Voorbeeld.

Bereken de oppervlakte van de driehoek hiernaast. Geef je antwoord exact (dus niet afgerond).

Door de hoogtelijn hiernaast te tekenen zie je dat je te maken hebt met twee driehoeken die hierboven staan beschreven.

Dat betekent dat de rode zijden de lengtes hebben zoals is aangegeven.

De oppervlakte is dan 0,5 • (1 + √3) • √3
Dat is dus gelijk aan 0,5√3 + 1,5

OPGAVEN

A is een gelijkzijdige driehoek en B is een vierkant met dezelfde zijden als de driehoek.

Het vierkant wordt tegen de driehoek gelegd zoals in de figuur hiernaast.
Om de hele figuur wordt vervolgens een rechthoek gezet.

De breedte van de rechthoek is 4
Bereken exact de hoogte van de rechthoek.

In een assenstelsel liggen de punten P en Q op de y-as en punt R op de x-as.
Er geldt OP = OQ = OR

Door Q wordt een lijn getekend die een hoek van 15º met de y-as maakt.
Door P wordt een lijn getekend die een hoek van 45º met de y-as maakt.

De lijnen snijden elkaar in punt S.

Het blijkt dat SR = 4.

Bereken de oppervlakte van driehoek PQR.

In vierkant ABCD wordt lijn DP getekend zodat de hoek tussen DP en DC gelijk is aan 15°.

Verder staat BP loodrecht op DP.

Het blijkt dat BP = 8.

Berken de oppervlakte van het vierkant.

Vijf cirkels met straal 2 liggen symmetrisch in een vierkant. zoals in de figuur hiernaast.

Bereken de oppervlakte van het vierkant.