© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Extremen.
Extremen van de grafiek zijn toppen en dalen van die grafiek. De maxima en minima.
't Is een verzamelnaam voor beiden.
Extremen van een grafiek zijn erg interessant....

Waarom?

Nou, droom maar even mee, stel je voor.....

• ...dat je een formule voor de winst van je bedrijfje hebt als functie van het aantal producten dat je gaat produceren. Dan is het toch wel érg interessant bij welke productiegrootte die winst maximaal is.
• ...dat je weet hoe de oppervlakte van een literblik afhangt van de hoogte. Dan wil je graag weten bij welke hoogte die oppervlakte minimaal is, want dan heb je het minste materiaal nodig om je blik te maken.
• ...dat je  een formule hebt ontdekt die zegt hoe goed gistcellen werken bij een bepaalde temperatuur. Dan wil je natuurlijk meteen weten bij welke temperatuur hun werking maximaal is. Toch?
Geef maar toe: extremen zijn gewoon interessant!
Wiskundig is het gelukkig erg makkelijk zulke maxima en minima van een grafiek op te sporen. Je ziet het vast meteen in de volgende grafiek. Daar is bij elk maximum en elk minimum de raaklijn getekend.
De quizvraag van vandaag is natuurlijk:  "Wat valt je op????????"
Nou ik kan me haast niet voorstellen dat iemand het niet ziet:  Die raaklijnen zijn allemaal horizontaal.
Maar dat betekent dat de helling van die lijnen nul  is.
Maar dat betekent dat de helling van de grafiek zélf daar ook nul is.

AHA.......  dat is f '!!!

Dat geeft ons een manier om maxima en minima  (extremen) op te sporen:

Bij een maximum of minimum van  f  geldt  f ' = 0
   
Bedenk goed dat je bij een maximum/minimum dus op deze manier niet altijd het absoluut hoogste/laagste punt van de grafiek hoeft te vinden. In de grafiek hierboven zie je al wel dat de grafiek meerdere extremen heeft (drie maxima en twee minima om precies te zijn), en die vind je allemaal via  f ' = 0 .
Met f ' = 0 vind je wat we noemen locale maxima en minima:  ter plekke is de grafiek even maximaal of minimaal maar dat wil nog niet zeggen dat de grafiek elders niet nog hoger of lager kan zijn.
Maar ehmm.... Hoe weet je nou of 't een maximum of een minimum is ?

De simpelste manier om daar achter te komen is om de grafiek te plotten en gewoon te kijken of er een top of een dal zit bij de x die je hebt berekend. 
   
Voorbeeld    Bereken de maxima en minima van de grafiek van: 
f(x) = x3 - 6x2 - 15x + 10

Oplossing:  
f '(x) = 3x2 - 12x - 15
3x2 - 12x - 15 = 0
x2 - 4x - 5 = 0
(x - 5)(x + 1) = 0
x = 5  ∨  x = -1
Dat geeft de punten  (5, -90)  en  (-1, 18)

In de figuur zie je dat  (5, -90) een minimum is en (-1, 18) een maximum.

   
 
 
  OPGAVEN
1. Bereken algebraďsch welke extremen de volgende functies hebben. Geef elke keer ook aan of het om een maximum of een  minimum gaat.
         
a. f(x) = 4x2 + 6x + 5 d. f(x) =  4x2 + 1/x
         
b. y = x3 - 12x2 + 36x - 6 e. f(x) = 4/x˛ + 4x - 3
         
c. y = 3x - 2√x f. y =   1/4x2 - x√x
2. Een touroperator organiseert busreizen naar het Zwarte Woud in Duitsland.
Voor een reis van een week, inclusief verblijfkosten,  vraagt men €620,- en daar gaan meestal 120 mensen mee. Zo'n reis levert de touroperator dus 120 · 620 = 74400 euro aan inkomsten op.
Maar als men de prijs verlaagt dan gaan er meer mensen mee. Voor elke 10 euro die er van de prijs afgaat, blijken er 5 mensen extra mee te gaan.
Uiteindelijk besluit men daarom om t  keer 10 euro van de prijs af te halen.

an is het totale bedrag (T) dat men aan inkomsten ontvangt gelijk aan
T = 74400 + 1900t - 50t2  
     
a. Toon aan dat die formule klopt.
     
b. Bij welke prijs zijn de inkomsten van de touroperator maximaal?
 
3. Gegeven zijn de functies:  fa(x) = a√x - 4x
     
a. Geef de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f1 in het punt waarvoor  x = 4.
     
b. Er is een functie fa die een maximum heeft bij x = 9. Bereken de y-coördinaat van dat minimum.
       
4. Gegeven zijn de functies  fp(x) = x3 + px2 + 2x - p   ,waarbij p een positief getal is.
     
  a. Bereken algebraďsch de coördinaten van de extremen van f4.
     
  b. Geef een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f2 in het punt waar x = 1
     
  c. Bewijs dat alle grafieken van fp door hetzelfde punt gaan.
     
  d. Onder een bepaalde p heeft de grafiek van fp geen extremen meer.
Onderzoek met je GR welke p dat is, en probeer vervolgens met formules te verklaren waarom dat zo is.
     
5. Elk jaar op 1 mei moet iedereen zijn belastingaangifte hebben gedaan.
De overheid opent daarom vanaf  1 maart een telefonische hulplijn (helpdesk) waar mensen met vragen terecht kunnen.
Voor het aantal vragen dat per dag bij de hulplijn binnenkomt blijkt te gelden:

V(t) = 140t - 20t1,5

Daarin is V het aantal vragen per dag en t de tijd in dagen met t = 0 op 1 maart.
     
  a. Leg uit dat men ook na 1 mei nog een aantal dagen vragen krijgt.
Hoeveel dagen?
     
  b. Bereken het maximale aantal vragen dat er op een dag binnenkomen.
     
  c. Op een gegeven moment merkt men dat er op een dag 20 vragen meer zijn dan de dag ervoor.
In  de buurt van welke dag zal dat zijn geweest?  Geef een berekening met behulp van de afgeleide V' .
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)