Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven

Bereken algebraïsch welke extremen de volgende functies hebben. Geef elke keer ook aan of het om een maximum of een minimum gaat.

f(x) = 2x² + 8x + 7

f(x) = ¹/_x + 3x²

y = x³ - 9x² + 24x - 24

f(x) = ⁸/_x² + 2x - 3

y = √x - 2x

y = x√x - 0,75x²

Een ijsverkoper merkt dat het aantal ijsjes dat hij op een dag verkoopt toeneemt als hij de prijs ervan verlaagt (ja dûh). Op dit moment verkoopt hij zijn ijsjes voor €1,50 per stuk en hij verkoopt 250 ijsjes per dag, dus dat levert hem een omzet van 250 • 1,50 = €375,- per dag
Hij experimenteert een beetje en komt tot de conclusie dat voor elke 10 cent dat hij van de prijs afhaalt, hij 20 ijsjes extra verkoopt.
Stel dat hij uiteindelijk besluit om d dubbeltjes van de prijs af te halen.
Dan is zijn totale omzet (het bedrag dat hij per dag binnenkrijgt) gelijk aan:
O = 375 + 5d - 2d²

Toon aan dat die formule klopt.

Bij welke prijs is de omzet van deze verkoper maximaal?

Gegeven zijn de functies: f_a(x) = 2ax - 8√x

Geef de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f₁ in het punt waarvoor x = 1.

Er is een functie f_a die een minimum heeft bij x = 16. Bereken de y-coördinaat van dat minimum.

Gegeven zijn de functies f_p(x) = x³ + 3x² + px + p

Bereken algebraïsch de coördinaten van de extremen van f_0,57.

Geef een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f₂ in het punt waar x = 1

Bewijs dat alle grafieken van f_p door hetzelfde punt gaan.

Onder een bepaalde p heeft de grafiek van f_p geen extremen meer.
Onderzoek met je GR welke p dat is, en probeer vervolgens met formules te verklaren waarom dat zo is.

Een banketbakker begint elk jaar ruim vóór Sinterklaas al met de verkoop van chocoladeletters.
Voor het aantal letters dat hij per dag verkoopt geldt de formule L(t) = 90t - 20t^1,5
Hij begint met de verkoop op t = 0, en dat is op 18 november.

Leg uit dat de man ook na 5 december nog een aantal dagen chocoladeletters zal verkopen.
Hoeveel dagen?

Bereken het maximale aantal letters dat hij op een dag zal verkopen.

Op een gegeven moment merkt hij dat hij op een dag 24 letters minder verkoopt dan de dag ervoor.
In de buurt van welke dag zal dat zijn geweest? Geef een berekening met behulp van de afgeleide L' .

MEER OPGAVEN

Vroeger heb je ooit geleerd dat de top van de parabool y = ax² + bx + c ligt bij x = - ^b/₂_a
Toon dat aan met behulp van de afgeleide.

De verkoopcijfers van een bepaald product zijn lange tijd constant, maar de fabrikant wil graag meer gaan verkopen. Op tijdstip t = 5 lanceert men daarom een reclamecampagne. Het blijkt dat de verkoopcijfers direct vanaf dat tijdstip sterk stijgen. Echter het is een bekend verschijnsel in de reclamewereld dat dit effect maar van korte duur is: het publiek raakt gewend aan de reclames en het effect ervan neemt af. De verkoopcijfers naderen weer langzaam tot hun oude niveau.
Voor de toename van de verkoopcijfers (in procenten) blijkt te gelden:

T = ¹⁶⁸⁰/_t - ⁸⁴⁰⁰/_t²

Daarin is t de tijd in weken en T de toename van de verkoopcijfers vanaf t = 5.
De formule geldt voor t > 5.

Toon met behulp van differentiëren aan dat de verkoopcijfers op t = 5 inderdaad stijgen.

Hoeveel procent toename zal maximaal gehaald worden?

Examenopgave Havo, Wiskunde B, 2018-II

Gegeven zijn de functies h(x) door: h(x) = ^x/_a + ^a/_x
Met a > 0 en domein 〈0,→〉
In onderstaande figuur is voor een aantal waarden van a de grafiek van h getekend.

Voor elke waarde van a heeft de grafiek van h één top. In de figuur is voor enkele waarden van a de top met een stip aangegeven.
De y-coördinaat van elke top in deze figuur is gelijk aan 2.
Het is zelfs zo dat voor elke waarde van a (met a > 0 ) de y-coördinaat van de top van de grafiek van h gelijk is aan 2.

Bewijs dit.