© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Eigenschappen van lineaire formules
     
Vorige les hebben we de basis van het lineaire verband besproken.
Dat zag er als volgt uit:

     

   
Deze les gaan we een aantal eigenschappen van zo'n rechte lijn bekijken.

Vraag 1:  Wat is het snijpunt met de x-as?
   

  Vraag jezelf gewoon af:  "wat hebben alle punten van de x-as gemeenschappelijk?"

Hiernaast zie je dat waarschijnlijk wel: 
ze hebben allemaal y = 0
     
 

snijpunt x-as:   y = 0
     
 

Voorbeeld:  Bereken het snijpunt van de lijn 
y = 4x - 28  met de x-as.

Oplossing:
y = 0  geeft  0 = 4x -  28
4x = 28
x = 7   Dus het snijpunt is   (7, 0)
       
Vraag 2:  Wat is het snijpunt met de y-as?
       
  Nou dat zal dan wel zijn  x = 0, denk je niet?
Met de lijn y = 4x - 28  hierboven zou dat geven  y = 4 × 0 - 28 = -28, dus het punt  (0, -28)
Dat klopt wel, maar toch ben je gek als je het zo berekent!!
       
 

       
Vraag 3:  Hoe bereken je een parameter?
       
Een parameter is een extra letter (behalve x en y natuurlijk) in een vergelijking.
Bijvoorbeeld in de vergelijking  y = px + 6  is de p een parameter.

Nou zijn er dan natuurlijk een heleboel lijnen die aan deze vergelijking voldoen. Voor elke p krijg je immers weer een nieuwe lijn.

Maar zodra we één punt van de lijn weten dan kunnen we de p uitrekenen, en dat gaat heel eenvoudig:
       

Parameter uitrekenen?   Punt invullen!
       
voorbeeld:
Voor welke p gaat de lijn   y =  px + 6   door het punt  (4, 18)?

oplossing: 
vul (4, 18) in:
Dat geeft   18 = p × 4 + 6   en dus is   p = 3
       
Vraag 4:  Hoe maak je een lijn evenwijdig aan een andere lijn?
       
Dat zie je in de figuur hiernaast.

Als twee lijnen evenwijdig zijn dan lopen ze even steil dus gaan ze beiden bij 1 naar rechts even veel omhoog/omlaag.
Maar dat betekent natuurlijk dat hun richtingscoëfficiënten gelijk zijn!

     
evenwijdige lijnen
hebben dezelfde richtingscoëfficiënt
     
Voorbeeld:
Geef een vergelijking van de lijn door  (2, 5) die evenwijdig is aan  de lijn  y = -0,5x + 10

Oplossing:
De lijn is evenwijdig aan  y = -0,5 + 10 dus heeft ook
 rc = -0,5
de vergelijking is dus y = -0,5x + b
Vul nu het punt (2, 5) in  (zie vraag 3: b is een parameter):
5 = -0,5 × 2 + b  en dat geeft  b = 6
       
Vraag 5:  Hoe bereken je het snijpunt van twee lijnen?
       
Hiernaast zie je de lijnen y = 0,5x + 2  en   y = 9 - 2x
Het snijpunt noemen we S

In dat snijpunt hebben die lijnen dezelfde y
Dus moet er uit de formules  0,5 + 2 en  9 - 2x het zelfde getal komen

Stel ze daarom gewoon gelijk aan elkaar:

0,5x + 2 = 9 - 2x
2,5x = 7
x = 2,8
Dan is y = 0,5x + 2 = 3,4
Het snijpunt is  (2.8, 3.4)

       

snijpunt van twee lijnen  ⇒  zet de formules achter elkaar.
       
Vraag 6:  Hoe zit het met horizontale en verticale lijnen?
       
Horizontale lijnen dit hebben we eigenlijk al behandeld!!
Dat kun je zien door je te bedenken dat een horizontale lijn horizontaal loopt!!!
Dat lijkt nogal een zinloze bewering, maar niet meer als je je realiseert dat "horizontaal lope betekent dat de helling NUL is ; immers bij 1 stapje naar recht gaat de lijn 0 omhoog
       

horizontale lijn:   a = 0,  dus  y = b

       
De formule wordt dan  y = 0x + b ofwel gewoon y = b  (en die b is dan de hoogte waarop de horizontale lijn loopt)
Dat ziet er dan ongeveer zó uit:
       

       
Verticale lijnen zijn wat lastiger.
Hiernaast zie je er eentje met wat coördinaten.

Daar valt je vast wel wat aan op..........

Ze hebben allemaal  x = 2

En dat is meteen de vergelijking van die lijn:
     

verticale lijn:   x = p
     
Eigenlijk best logisch vind je niet?
De lijn kan in ieder geval geen r.c. hebben want bij 1 stapje naar rechts kun je nooit meer op de lijn belanden. Een vergelijking van de vorm  y = ax + b zit er dus bij voorbaat al niet in.
       
 
 
OPGAVEN
       
1. Bereken de coördinaten van het snijpunt van de volgende lijnen:
       
  a. y = 5x - 2  en  y = 8(2 + x)
       
  b. y = -2x + 7  en  y = 3 + 3x + 5
       
2. De lijnen  y = ax - 3  en   y = 5 + 2x snijden elkaar op de x-as
Bereken a.
       
3. Een lijn door  (-3, 7) is evenwijdig aan de lijn  y = 2x + 11
Geef een formule van die lijn.
       
4. De lijnen  y = 2x - 3  en  y = 5x + p en  y = 8 + x  snijden elkaar in één punt.
Bereken p.
       
5. Hiernaast zie je de lijnen:
y = -1,2x + 8  en   y = 2 + 1,4x

De lijnen snijden de x-as in de punten A en B en elkaar in punt S

     
  a. Bereken de coördinaten van S
     
  b. Bereken de oppervlakte van driehoek ABS
     
  De lijn  y = 4,1  snijdt deze twee lijnen in de punten P en Q
     
  c. Bereken de lengte van lijnstuk PQ
       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)