|
|
De grafieken van soort I en soort
II hierboven zien er nogal verschillend uit. Dat is ook logisch als je
bedenkt dat bij soort I de groeifactor g groter dan 1 is, dus zal
de hoeveelheid toenemen. Bij soort II is g kleiner dan 1 en zal er
sprake zijn van afname.
Hier staan twee typische grafieken: |
|
|
|
|
|
Er valt nog iets op aan deze grafieken.
Ze lijken nooit onder de x-as te komen.
Daar aan die zijkanten lijkt de x-as een horizontale
asymptoot te zijn (dat is aangegeven met een pijl)
Dat dat inderdaad zo is kun je zo inzien:
|
|
|
• |
als 0 < g < 1 moet je
aan de rechterkant kijken dus een heel groot positief getal voor x
nemen.
dan wordt g10000... = g • g • g
• g • g • g • g • g • g • g • g •
g • g • g • g • g • g
• .......
Dat wordt steeds kleiner, maar omdat g positief is kan hier nooit
een negatief getal uitkomen. |
|
|
• |
als g > 1 moet je
aan de linkerkant kijken dus een heel groot negatief getal voor x
nemen
Dan geldt g -100000... = 1/g100000......
en als g100000.... heel groot wordt, dan wordt 1/g100000....
dus heel klein.
Maar weer nooit negatief! |
|
|
Laatste
vraag: Wie is de steilste? |
|
|
Die kromme grafieken van exponentiële functies lijken wat op de kromme
grafieken die we al eerder tegenkwamen bij parabolen, en x3
en x100 dergelijke functies.
|
|
|
|
|
|
|
Hierboven zie je de grafieken van x3
en 1,5x . Het lijkt erop dat x3
veel steiler loopt dan 1,5x .
Maar dat blijkt niet zo te zijn!!!!!!
Bij grotere x zal de grafiek van 1,5x die
van x3 toch weer "inhalen".
(om precies te zijn gebeurt dat bij x ongeveer 23,29 op hoogte
ongeveer 12638, reken het zelf maar na).
En dat is geen toeval: dat gebeurt altijd! Op den duur wordt gx
(g > 1) altijd groter dan xn
Dus zelfs 1,001x zal het op den duur
winnen van x400 (dat duurt trouwens wel
even..... bij x iets meer dan 6 miljoen!)
Conclusie: |
|
|
gx
(g > 1) wordt op den duur
(voor grote x) altijd
groter dan xn |
|
|
|
Transformaties. |
|
|
Zo, dan hebben we er nu alweer een
paar nieuwe basisgrafiek bijgeleerd.
De basisbibliotheek van standaardgrafieken is intussen aardig aan 't
groeien. Ik tel er al 7......
Onze verzameling ziet er intussen al zó uit: |
|
|
|
|
|
En natuurlijk kunnen we het niet
laten om alle zes de transformaties die we kennen op al deze grafieken
te gaan toepassen!
Dit waren de transformaties: |
|
|
grafiek a
omhoog schuiven |
⇒ f(x) wordt
f(x) + a |
grafiek
a naar rechts schuiven |
⇒ elke x
vervangen door (x -
a) |
afstand tot de x-as a
keer zo groot |
⇒
vermenigvuldig de hele formule met a |
afstand
tot de y -as a keer zo groot
|
⇒
vervang elke x
door (1/a
• x) |
spiegelen
in de x-as |
⇒
minteken voor de hele formule |
spiegelen in
de y -as |
⇒
vervang elke
x door -x |
|
|
|
|
Laten we met een paar voorbeelden
bekijken wat de gevolgen voor de grafieken van exponentiële functies
zijn. |
|
|
Voorbeeld. |
Schets de grafiek van y
= 3 - 2
·1,5x |
|
|
|
|
|
Begin met y = 1,5x
- De hele formule met 3 vermenigvuldigen betekent een
vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor 2.
- Een minteken voor de formule betekent spiegelen in de x-as
- De hele formule +3 betekent een translatie 3 omhoog.
Zie onderstaand stripverhaal.
De asymptoot is de lijn y = 3 geworden. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
OPGAVEN |
|
|
1. |
Welke asymptoten hebben de grafieken
van de volgende functies? |
|
|
|
a. |
f(x) =
5 • 3x |
|
|
|
b. |
f(x) =
8
- 3 • 1,2x |
|
|
|
c. |
f(x) =
4 • 2x
+ 5 |
|
|
2. |
Hieronder staan drie
grafieken van de vorm y = B • gx
Bepaal van elk van deze grafieken de waarden van B
en g. |
|
|
|
|
|
3. |
Gegeven zijn de functies f(x)
= 14 • x14 en g(x) =
1,4 • 1,4x
Bepaal met je rekenmachine voor welke x geldt dat f(x)
< g(x). |
|
|
4. |
De ijsberen in
Western Hudson Bay worden gezien als de best bestudeerde groep. Elk jaar
trekken ze langs het stadje Churchill, in de staat Manitoba, van waar ze
terugkeren naar het zee-ijs.
Het aantal ijsberen in Western Hudson Bay, in Canada, is de afgelopen 23
jaar met 26 procent afgenomen. Uit onderzoek van de Canadese overheid
blijkt dat er in 2023 nog 628 ijsberen leefden; in 2000 waren dat er nog
849.
Deze afname van het aantal ijsberen kan verlopen zijn volgens
verschillende modellen.
Twee mogelijkheden zijn:
- een lineair verband of
- een exponentieel verband.
In beide gevallen was het aantal in 2023 gelijk en was ook het aantal in
2000 gelijk.
Echter, een hoeveelheid ijsberen van bijvoorbeeld 700 ijsberen werd in het ene geval op een eerder moment
bereikt dan in het andere geval.
Leg uit, zonder
berekeningen te geven, in welk van de twee genoemde gevallen het
aantal ijsberen de waarde van 700 eerder bereikte. |
|
|
|
©
h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|
|