exponentiele grafieken

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Grafieken van exponentiële functies.

De exponentiële functies y = B • g^x kunnen we in twee soorten indelen:

soort I. de groeifactor g is groter dan 1:	TOENAME
soort II: de groeifactor g zit tussen 0 en 1:	AFNAME

Natuurlijk zijn er nog een paar andere gevallen, maar die zullen we niet bekijken, dat zijn:

g = 1. Da's nogal saai, want dan staat er y = B • 1^x ofwel y = B.
De grafiek is een horizontale lijn op hoogte y = B.

g = 0. Nog saaier: y = B • 0^x = 0 en dat is de x-as.

g < 0. Hmmm... wel interessant eigenlijk, maar ook deze gevallen zullen we verder niet bekijken.

De grafieken van soort I en soort II hierboven zien er nogal verschillend uit. Dat is ook logisch als je bedenkt dat bij soort I de groeifactor g groter dan 1 is, dus zal de hoeveelheid toenemen. Bij soort II is g kleiner dan 1 en zal er sprake zijn van afname.

Hier staan twee typische grafieken:

Er valt nog iets op aan deze grafieken.
Ze lijken nooit onder de x-as te komen.
Daar aan die zijkanten lijkt de x-as een horizontale asymptoot te zijn (dat is aangegeven met een pijl)
Dat dat inderdaad zo is kun je zo inzien:

•

als 0 < g < 1 moet je aan de rechterkant kijken dus een heel groot positief getal voor x nemen.
dan wordt g^10000... = g • g • g • g • g • g • g • g • g • g • g • g • g • g • g • g • g • .......
Dat wordt steeds kleiner, maar omdat g positief is kan hier nooit een negatief getal uitkomen.

•

als g > 1 moet je aan de linkerkant kijken dus een heel groot negatief getal voor x nemen
Dan geldt g ^-100000... = ¹/_g100000...... en als g^100000.... heel groot wordt, dan wordt ¹/_g100000.... dus heel klein.
Maar weer nooit negatief!

Laatste vraag: Wie is de steilste?

Die kromme grafieken van exponentiële functies lijken wat op de kromme grafieken die we al eerder tegenkwamen bij parabolen, en x³ en x¹⁰⁰ dergelijke functies.

Hierboven zie je de grafieken van x³ en 1,5^x . Het lijkt erop dat x³ veel steiler loopt dan 1,5^x .
Maar dat blijkt niet zo te zijn!!!!!!
Bij grotere x zal de grafiek van 1,5^x die van x³ toch weer "inhalen".
(om precies te zijn gebeurt dat bij x ongeveer 23,29 op hoogte ongeveer 12638, reken het zelf maar na).
En dat is geen toeval: dat gebeurt altijd! Op den duur wordt g^x (g > 1) altijd groter dan xⁿ
Dus zelfs 1,001^x zal het op den duur winnen van x⁴⁰⁰ (dat duurt trouwens wel even..... bij x iets meer dan 6 miljoen!)
Conclusie:

g^x (g > 1) wordt op den duur (voor grote x) altijd groter dan xⁿ

Transformaties.

Zo, dan hebben we er nu alweer een paar nieuwe basisgrafiek bijgeleerd.
De basisbibliotheek van standaardgrafieken is intussen aardig aan 't groeien. Ik tel er al 7......
Onze verzameling ziet er intussen al zó uit:

En natuurlijk kunnen we het niet laten om alle zes de transformaties die we kennen op al deze grafieken te gaan toepassen!
Dit waren de transformaties:

grafiek a omhoog schuiven	⇒ f(x) wordt f(x) + a
grafiek a naar rechts schuiven	⇒ elke x vervangen door (x - a)
afstand tot de x-as a keer zo groot	⇒ vermenigvuldig de hele formule met a
afstand tot de y -as a keer zo groot	⇒ vervang elke x door (¹/_a• x)
spiegelen in de x-as	⇒ minteken voor de hele formule
spiegelen in de y -as	⇒ vervang elke x door -x

Laten we met een paar voorbeelden bekijken wat de gevolgen voor de grafieken van exponentiële functies zijn.

Voorbeeld.

Schets de grafiek van y = 3 - 2 ·1,5^x

Begin met y = 1,5^x
- De hele formule met 3 vermenigvuldigen betekent een vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor 2.
- Een minteken voor de formule betekent spiegelen in de x-as
- De hele formule +3 betekent een translatie 3 omhoog.
Zie onderstaand stripverhaal.
De asymptoot is de lijn y = 3 geworden.

OPGAVEN

Welke asymptoten hebben de grafieken van de volgende functies?

f(x) = 5 • 3^x

f(x) = 8 - 3 • 1,2^x

f(x) = 4 • 2^x + 5

Hieronder staan drie grafieken van de vorm y = B • g^x
Bepaal van elk van deze grafieken de waarden van B en g.

Gegeven zijn de functies f(x) = 14 • x¹⁴ en g(x) = 1,4 • 1,4^x
Bepaal met je rekenmachine voor welke x geldt dat f(x) < g(x).

De ijsberen in Western Hudson Bay worden gezien als de best bestudeerde groep. Elk jaar trekken ze langs het stadje Churchill, in de staat Manitoba, van waar ze terugkeren naar het zee-ijs.

Het aantal ijsberen in Western Hudson Bay, in Canada, is de afgelopen 23 jaar met 26 procent afgenomen. Uit onderzoek van de Canadese overheid blijkt dat er in 2023 nog 628 ijsberen leefden; in 2000 waren dat er nog 849.
Deze afname van het aantal ijsberen kan verlopen zijn volgens verschillende modellen.
Twee mogelijkheden zijn:
- een lineair verband of
- een exponentieel verband.

In beide gevallen was het aantal in 2023 gelijk en was ook het aantal in 2000 gelijk.
Echter, een hoeveelheid ijsberen van bijvoorbeeld 700 ijsberen werd in het ene geval op een eerder moment bereikt dan in het andere geval.

Leg uit, zonder berekeningen te geven, in welk van de twee genoemde gevallen het aantal ijsberen de waarde van 700 eerder bereikte.