© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Gebieden.
De vorige les zagen we een voorbeeld waarbij ik W flessen wijn koop voor €6,- per stuk en  L flessen likeur voor €15,- per stuk. Mijn hele bestelling kost dan  6W + 15L euro.
Als ik dan in totaal €120,- uitgeef, dan kan ik de vergelijking  6W + 15L = 120 opstellen, en de grafiek daarvan geeft een rechte lijn.

Maar hoe is het als ik niet precies  €120, uitgeef, maar maximaal  €120,- wil  uitgeven?
Dan moet dus gelden  6W + 15L ≤ 120

Dat heet een ongelijkheid, en daarbij hoort niet één lijn, maar een heel gebied. Zie onderstaande figuur. De lijn 6W + 15L = 120  is precies de grens van dit gebied.
Die lijn verdeelt het hele vlak in twee delen:  een deel waarvoor geldt 6W + 15L > 120 en een deel waarvoor geldt  6W + 15L < 120. Die delen zijn hieronder blauw en geel gekleurd.
       

       
Hoe weet je welke deel bij welke ongelijkheid hoort?
Nou dat is simpel:  kies gewoon een punt uit het gebied en kijk of  6W + 15L groter of kleiner dan 120 wordt.
Neem bijvoorbeeld het punt  (2, 0) uit het blauwe gebied. Dan is 6W + 15L = 6 • 2 + 15 • 0 = 12. Dat is kleiner dan 120 dus het hele blauwe gebied hoort bij  6W + 15L < 120, en het hele gele gebied hoort dus bij 6W + 15L > 120.

(Ik kies trouwens altijd (0, 0) om in te vullen; dat rekent lekker makkelijk!!)

Meerdere gebieden tegelijk.

Als je meerdere voorwaarden tegelijk hebt dan heb je dus te maken met meerdere gebieden die door elkaar lopen en waarvan je het deel moet hebben dat aan al die voorwaarden tegelijk voldoet. Een soort "gemeenschappelijk deel" van al die gebieden.
Het werkt dan vaak het handigst om bij elke voorwaarde het gebied dat er NIET aan voldoet weg te strepen (bijvoorbeeld door te arceren). Dan is uiteindelijk het gebied dat aan alle voorwaarden tegelijk voldoet uiteindelijk nog steeds ongearceerd gebleven.


Voorbeeld.
Teken het gebied dat voldoet aan   15L + 6W > 120  en   2L - W  < 8  en  6L + 10W < 180

De grenslijn 15L + 6W =120 zagen we al in de figuur hierboven.
15L + 6W > 120  geeft het gebied boven de grenslijn dus het gebied eronder strepen we weg:
       

       
De grenslijn 2L - W =  8  gaat bijvoorbeeld door  (0, 4) en (2, 5)
2L - W < 8 geeft het gebied onder de grenslijn, dus het gebied erboven strepen we weg:
       

       
De grenslijn 6L + 10W = 180  gaat bijvoorbeeld door (0, 30) en (18, 0)
6L + 10W < 180 geeft het gebied links van die lijn, dus het gebied rechts ervan strepen we weg:
       

       
Het gebied dat aan alle drie de voorwaarden voldoet is dan die driehoek in het midden die open is gebleven.
       
 
                                       
  OPGAVEN.
       
1. Teken het gebied dat voldoet aan alle volgende voorwaarden:
    y + 2x > 20
y - 3x < 0
x > 5
       
2. Mijn vrouw heeft een volkstuintje van 200 m2 waarin zij aardappelen en boontjes wil gaan planten. Eventueel laat ze een deel leeg.
Het onderhoud en het beplanten van een m2 aardappelen kost  €0,20  per seizoen, en voor boontjes is dat  €0,60.
Daar is uiteraard geen werktijd in meegerekend; ze doet het als een hobby.
Maar ze is niet van plan in het seizoen om meer dan €90,- uit te geven aan onderhoud en beplanten
Een m2 aardappelen zal per seizoen 10 uur werk opleveren, en een m2 boontjes kost 5 uur werk.
Mijn vrouw heeft in een seizoen niet meer dan 1500 uur tijd over om aan haar volkstuintje besteden.

Stel dat mijn vrouw A m2 met aardappelen gaat beplanten en B m2  met boontjes.
       
  a. Stel een ongelijkheid op die aangeeft dat de totale grootte maximaal 200 m2 is
       
  b. Stel een ongelijkheid op die aangeeft dat er maximaal €90 mag worden uitgegeven
       
  c. Stel een ongelijkheid op die aangeeft dat er maximaal 1500 uur aan het werk besteed mag worden
       
  d. Teken het gebied dat bij alle voorwaarden hoort. Denk erom dat de aantallen m2 wel altijd groter dan nul moeten zijn.
       
3.

Een school wil ter gelegenheid van het 140-jarig lustrum een mooi lustrumboek laten verschijnen. Men vraagt de lokale uitgeverij om daarvan twee uitvoeringen te maken, te weten een paperback en een fraaiere gebonden uitgave. Van de gebonden uitgave besluit men hoogstens 7000 exemplaren te laten maken.
De uitgeverij heeft in de drukkerij een machine staan die binnen de gestelde termijn 36 dagen kan draaien.

Duizend paperbacks vereisen 3 machinedagen en duizend gebonden exemplaren vereisen 4 machinedagen.

De opslagruimte in de drukkerij is beperkt. Een gebonden boek neemt twee keer zoveel plaats is als een paperback, en er kunnen maximaal 8000 gebonden boeken (en dus maximaal 16000 paperbacks) worden opgeslagen.

Stel dat men besluit x-duizend paperbacks en y-duizend gebonden boeken te maken.

Stel dan de beperkende voorwaarden bij dit probleem op en teken het toelaatbare gebied.
       
  a. Stel een ongelijkheid op voor het aantal machinedagen
       
  b. Stel een ongelijkheid op voor de opslagruimte.
       
  c. Teken het gebied dat bij alle voorwaarden hoort.
       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)