Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Gebroken functies.

Gebroken functies zijn functie waar een breuk in voorkomt.
En niet zomaar een breuk, nee, een breuk met in de noemer ergens een x

Laten we eerst de allereenvoudigste bekijken:

f(x) = ¹/_x

Die noemer heeft meteen een apart gevolg voor deze functie: Hij bestaat niet bij x = 0.
Probeer maar op je rekenmachine: ¹/₀ geeft ERROR.

Waarom is dat zo?

Dat kun je het best zien door te bekijken wat het nou eigenlijk betekent als je ergens door deelt.

⁶/₃ = 2 omdat 2 × 3 = 6 (3 "past 2 keer in 6")
⁰/₄ = 0 omdat 0 × 4 = 0 (4 "past 0 keer in 0")
en nou komt de ellende: ⁵/₀ = ? omdat 0 × ? = 5 (hoe vaak "past 0 in 5" ?????)

Tja; door een aantal keer 0 te doen kun je nooit op 5 uitkomen. Dat blijft maar nul al ga je oneindig lang door.

Je krijgt een aardig idee van wat er aan de hand is door niet 0 in te vullen maar getallen vlak bij 0.

x	y = ¹/_x
1	1
0,5	2
0,2	5
0,04	25
0,0002	5000
0,000001	1000000

Je ziet het wel: hoe dichter x bij nul komt, des te groter wordt y.
En bij negatieve getallen in de buurt van nul gebeurt precies hetzelfde, alleen dan wordt y een heel groot negatief getal.

Wat zijn de gevolgen voor de grafiek van f(x) = 1/x ?

Hoe dichter de x bij nul om hoe groter de y wordt. Aan de linkerkant van de oorsprong heel groot negatief, aan de rechterkant van de oorsprong heel groot positief.

Bij nul zélf bestaat de grafiek niet.

Dat geeft zoiets als hiernaast.
De grafiek loopt aan twee kanten naar de y-as toe, maar bereikt de y-as nooit. Dat geven we aan met een pijltje.

Zo'n rechte lijn (in dit geval de y-as) waar een grafiek naar toe loopt heet een asymptoot van de grafiek.

De y-as is een verticale asymptoot
van de grafiek van f(x) = ¹/_x

Wat gebeurt er aan de zijkanten van de grafiek?

Als x steeds groter en groter wordt (aan de rechterkant van de grafiek) dan wordt 1/x steeds kleiner en kleiner. Dat loopt naar nul toe (maar komt nooit bij nul)

En aan de linkerkant, als x steeds groter negatief wordt, loopt de grafiek ook naar nul toe, maar wordt nooit nul.

Dat geeft in totaal dus een grafiek als hiernaast.
Je ziet dat de x-as ook zo;n rechte lijn is waar de grafiek naar toe loopt.

De x-as is een horizontale asymptoot
van de grafiek van f(x) = ¹/_x

Je ziet dat de grafiek uit twee delen bestaat. Zo'n functie noemen we dan ook een gebroken functie.

Omgekeerd evenredig.

Aan de rechterkant van de grafiek van y = ¹/_x zie je dat y steeds kleiner wordt als x groter wordt.
Sterker nog: als x drie keer zo groot wordt, dan wordt y drie keer zo klein.

Dat is in het algemeen zo bij de formule y = ^a/_x met a één of ander constant getal. Die krijg je als je de grafiek van y = ¹/_x met een factor a ten opzichte van de x-as vermenigvuldigt, weet je nog? Immers ^a/_x = a × ¹/_x .
Een verband van deze vorm noemen we een omgekeerd evenredig verband.

y is omgekeerd evenredig met x ⇔ y = ^a/_x

Zulke omgekeerd evenredige verbanden komen in de praktijk vaak voor.

Voorbeeldje uit de natuurkunde:

Als je een batterij van 6 Volt hebt, en je sluit daar een weerstand R op aan, dan gaat er een stroom I doorheen lopen. Daarbij geldt de volgende formule (de "wet van Ohm"): I × R = 6

Hieronder staat een tabel met verschillende waarden van I en R, en ernaast een grafiek van I als functie van R.

R	0,2	0,5	1	2	3
I	30	12	6	3	2

In deze tabel en ook in deze grafiek is te zien dat de grootte van I en van R van elkaar afhangen, maar "omgekeerd"; Als R groter wordt, wordt I juist kleiner en andersom. Dat moet ook wel, want met elkaar vermenigvuldigd moet het steeds 6 opleveren.

De formule kun je uiteraard herschrijven als I = ⁶/_R

Transformaties.

In eerdere lessen hebben we al manieren besproken om formules en grafieken te veranderen.
Laten we kijken hoe dat bij de functie f(x) = ¹/_x uitpakt.

Methode 1. Vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as

Als je de hele formule vermenigvuldigt met een getal a dan wordt de afstand tot de x-as a keer zo groot.

Hiernaast zie je de grafieken van y = ¹/_x en y = 3 × ¹/_x= ³/_x

Je ziet dat de x-as en de y-as ook van y = ³/_x de asymptoten zijn.
De blauwe grafiek nadert tot beide assen (alleen wat minder snel dan de rode)

Methode 2. Translatie naar rechts (of links)

Als je elke x vervangt door x - a dan schuift de grafiek a naar rechts. (en bij x vervangen door x + a naar links).

Hiernaast zie je de grafieken van y = ¹/_x en y = ¹/_{(x -
2)}

Je ziet dat in dit geval de verticale asymptoot ban de grafiek de lijn
x = 2 is geworden. Dat is natuurlijk logisch want die is ook gewoon "meegeschoven" naar rechts.

Methode 3. Translatie omhoog (of omlaag)

Als je +a bij de hele formule zet, dan schuift de grafiek a omhoog (en bij -a eerbij zetten a omlaag)

Hiernaast zie je de grafieken van y = ¹/_x en y = ¹/_x + 4

Je ziet dat in dit geval de horizontale asymptoot de lijn y = 4 is geworden. Die is ook 4 omhoog geschoven.

Methode 4 en 5. Spiegelen.

Als je een minteken voor de hele formule zet, dan spiegelt de grafiek in de x-as.
Als je elke x vervangt door -x dan spiegelt de grafiek in de y-as.
Dat levert hetzelfde op als spiegelen in de x-as
Dat is natuurlijk ook logisch, want ¹/_(-x) = -¹/_x
Hiernaast zie je de grafieken van y = ¹/_x en y = -¹/_x

Je ziet dat de asymptoten gelijk blijven.

Methode 6. Vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as

Als je elke x vervangt door ax dan wordt de grafiek vermenigvuldigd met factor ¹/_a ten opzichte van de y-as.

Hiernaast zie je de grafieken van y = ¹/_x en y = ¹/_(0,5_x)
De afstand tot de y-as is ¹/_0,5 = 2 keer zo groot geworden.

Je ziet dat de asymptoten gelijk blijven.

Natuurlijk kun je ook combinaties van deze drie transformaties maken.
Dat kom je wel in de opgaven tegen.....

Snel de asymptoten bepalen.

Bij een getransformeerde grafiek kun je natuurlijk de asymptoten bepalen door de kijken welke transformaties zijn toegepast en wat dat met de asymptoten heeft gedaan.
Het kan wat sneller op de volgende simpele manier:

Verticale asymptoot: Kijk wanneer de noemer nul is.

Horizontale asymptoot: Vul een hele grote x in (positief en negatief)

Voorbeeld: Geef de asymptoten van de functie f(x) = 12 + ¹⁰/_{(3x - 8)}

Verticaal: wanneer is de noemer nul? als 3x - 8 = 0 dus als x = ⁸/₃. Dus de horizontale asymptoot is x = ⁸/₃.

Horizontaal: neem voor x bijvoorbeeld 1000000000 dan komt er ongeveer y = 12 uit, dus de verticale asymptoot
is y = 12

OPGAVEN.

Geef de asymptoten van de grafieken van de volgende functies:

f(x) = 6 + ⁵/_{(x - 2)}

g(x) = ⁸/_{(x + 7)}- 6

h(x) = ⁵/_x + 7 + ²/_x

k(x) = 8 - ¹⁰/_{(12
- 4x)}

Een amateurwielrenner beklimt elk jaar de beroemde Alpe d'Huez.

Om bij elke gereden tijd snel de gemiddelde snelheid te kunnen bepalen tekent hij de grafiek hieronder.

Hieronder staat die grafiek met de tijd in minuten en de bijbehorende snelheid in km/uur.
De grafiek beschrijft een omgekeerd evenredig verband.

Stel een formule op van dit verband.

De grafiek van y = ¹/_x wordt eerst 4 naar rechts geschoven, daarna gespiegeld in de x-as en tenslotte wordt de afstand tot de y as 3 keer zo groot gemaakt . Geef een functievoorschrift van de grafiek die dan is ontstaan.

De grafiek van y = ¹/_x wordt 3 naar links geschoven, daarna wordt de grafiek gespiegeld inde y-as en tenslotte wordt de afstand tot de x-as gehalveerd. Geef een functievoorschrift van de grafiek die dan is ontstaan.

Een racefietser rijdt als training de afsluitdijk heen en weer.
Dat is een lang recht stuk van 32 km.
De heenweg gaat met de wind mee en de terugweg dus tegen de wind in.
De fietser wil graag over de heen- en terugweg samen een gemiddelde van 30 km/uur halen.
De heenweg rijdt hij in precies één uur, dus dat is een gemiddelde van 32 km/uur.

Laat met een berekening zien dat 28 km/uur omlaag niet genoeg is voor in totaal 30 km/uur gemiddeld.

De fietser ontwikkelt een formule voor de totale gemiddelde snelheid (V_tot) als functie van de gemiddelde snelheid bij de terugweg (v) als de heenweg in precies één uur gaat. Hij komt uit op:

Leid deze formule zelf af.

Welke horizontale asymptoot heeft de grafiek van deze functie? Wat stelt dat in praktijk voor?