© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)  
Hoeken.
   
Korte samenvatting van wat je over hoeken geacht wordt te weten.
In de volgende figuren betekenen pijltjes in lijnstukken steeds dat die lijnstukken evenwijdig zijn.
Streepjes in lijnstukken betekenen dat ze even lang zijn.
   
1.  Gelijke hoeken.
   
Je moet eigenlijk vijf speciale gevallen van hoeken die gelijk zijn uit je hoofd kennen.
Laten we ze maar even langslopen.
   
  F-HOEKEN

Als twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn, dan zijn de hoeken hiernaast gelijk.

     
  Z-HOEKEN

Ook hier worden twee evenwijdige lijnen gesneden door een derde, en zijn de hoeken hiernaast gelijk.

     
  X-HOEKEN

Ook wel overstaande hoeken genoemd.
Als twee lijnen elkaar snijden dan zijn de hoeken tegenover elkaar twee aan twee gelijk.

     
  BASISHOEKEN

In een gelijkbenige driehoek (een driehoek met twee gelijke zijden) zijn de basishoeken gelijk.

     
  GELIJKZIJDIGE DRIEHOEK

In een gelijkzijdige driehoek zijn alle drie de hoeken aan elkaar gelijk en elk 60º.

     
2.  Hoekensom Driehoek.  
   

De drie hoeken van een driehoek zijn altijd samen 180º
   
Bewijs:
Dat kun je eenvoudig inzien door het plaatje hiernaast.
Door een hoekpunt van de driehoek is een lijn getrokken evenwijdig aan de zijde er tegenover.
Vanwege Z-hoeken zijn de rode hoeken aan elkaar gelijk en de groene ook.
Bovenaan de driehoek zie je dat een rode plus een groene plus een blauwe gelijk zijn aan een rechte lijn en dat is 180º
Maar de drie hoeken van de driehoek zijn ook precies een rode en een groene en een blauwe, dus ook samen 180º

   
Gevolg:
Dat kun je mooi gebruiken om de som van de hoeken van een willekeurige regelmatige n-hoek te berekenen. Neem bijvoorbeeld de regelmatige negenhoek hiernaast.
Als je vanuit één hoekpunt zoveel mogelijk diagonalen tekent, dan zijn dat er 6, en daarmee verdeel je de negenhoek in 7 driehoeken. En de hoeken van die driehoeken zijn samen precies gelijk aan de hoeken van de negenhoek. Dus dat is 7 • 180 = 1260º
Elke hoek van de negenhoek is dus 1260/9 = 140º

En met een n-hoek zijn er altijd n - 3 diagonalen vanaf een hoekpunt (naar elk hoekpunt behalve de twee aanliggenden en het hoekpunt zélf) en dus n - 2 driehoeken.
De som van de hoeken is dan  180 • (n - 2)

   
3. Notatie  
   
Als teken voor "hoek" gebruiken we voortaan:     ∠
Als er in een punt maar één hoek is, kun je gewoon spreken over ∠A of  ∠B
Maar als er meer hoeken samenkomen, zoals hiernaast in punt A  is het onduidelijk welke hoek je nou precies bedoelt met  ∠A.
Er zijn twee mogelijke oplossingen:
• Je kunt de hoeken nummeren, zoals hiernaast ∠A1, ∠A2 en ∠A3
• Je kunt precies de route noemen die je neemt als je de hoek tekent. Hoek A1 hiernaast zou je dan  ∠CAD noemen omdat je de hoek tekent als je met je potlood van C naar A naar D gaat. Of ∠DAC zou ook kunnen natuurlijk. Merk op dat in dit geval het hoekpunt altijd bij de middelste letter zit.
   
Best handig, af en toe.....
   
Laatst moest ik laminaat leggen in een kamer waarvan de muren lang niet loodrecht op elkaar stonden.
Ik kon helaas niet meten hoe groot die hoek daar is, want mijn geodriehoek kon ik er natuurlijk niet inleggen door de muren!
 

De eerste plank die ik "op de gok" afzaagde was dan ook verkeerd: zie hiernaast.

Maar toen bedacht ik me, dat  ik met behulp van F-hoeken die hoek daar tussen die muren wél precies kon afmeten!

   
Kijk, omdat de zijden van zo'n plank evenwijdig zijn, zijn er in de figuur hiernaast twee rode F-hoeken te vinden.

En bij punt P kun je wél je geodriehoek langs de muur leggen, dus die rode hoek bij P valt precies te meten, en dan weet je die lastige hoek daar tussen de muren ook!!

Zoals je wel zult verwachten was de tweede plank die ik probeerde dan ook in één keer precies goed........

   
Er bestaat trouwens ook een apparaatje waarmee dit kan;  

   
 
 
  OPGAVEN
   
1. Bereken in de volgende figuren de grootte van de hoek met het vraagteken. Denk erom dat de grootte van de hoeken in de tekeningen niet klopt: je mag niet meten!!
       
 

       
2. Bereken hoe groot de hoeken zijn van een regelmatige tienhoek.
       
       
3. De figuur hiernaast heeft vier even lange zijden plus een hoek van 90°.

Bereken alle andere hoeken in deze figuur.

       
4. In driehoek ABC is AD de bissectrice (deellijn)  van hoek A.
Het blijkt dat AD = DB

Hoe groot is ∠CDB?

       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)