het getal e

	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
De geboorte van e

In de les over de afgeleide van g^xhebben we ontdekt dat die afgeleide gelijk is aan g^x • lng

Voorlopig kon je die constante lng met je GR vinden.
Hier is een lijstje:

g	lng
0,5	-0,69
1	0
1,5	0,40
2	0,69
2,5	0,92
3	1,10
3,5	1,25

En bij de echte wiskundige "kriebelt" het nu.

Bij jou ook?

Gefeliciteerd! Dat is een goed teken. Laten we gaan krabben....

Je ziet dat de afgeleide van g^x gelijk is aan een constant getal maal g^x. Maar als we het nou zó weten te regelen dat dat constante getal gelijk is aan 1, dan staat er opeens een functie die gelijk is aan zijn eigen afgeleide!

Wauw!
Dus hoe snel de functie verandert is precies gelijk aan hoe hoog de grafiek is. Op hoogte 3 heeft 'ie helling 3 en op hoogte 5,28 helling 5,28.

Snel op zoek: ergens tussen 2 en 3:

g	lng
2,5	0,916
2,6	0,956
2,7	0,993
2,8	1,029
2,75	1,100
2,73	1,004
2,72	1,0006
2,71	0,996
2,715	0,998

Als je zo nog een tijdje doorgaat dan ontdek je dat deze speciale g ongeveer gelijk is aan 2,718281.....
Hier kun je wat meer cijfers achter de komma vinden.

Deze g is zó apart en komt op zoveel plaatsen in de wiskunde voor dat er een speciale letter en naam aan zijn gegeven.
Het is het "getal van Euler" en heet voortaan e
Hij zit trouwens ook als knop op je GR.
Dus ln e = 1 en daarom is de afgeleide van e^x gelijk is aan.... precies!....e^x

f (x) = e^x ⇒ f '(x) = e^x

Voorbeeld.

In 1965 publiceerde Gordon Moore een artikel waarin hij liet zien dat het aantal transistors in een geïntegreerde schakeling (chip) vanaf 1958 elke twee jaar verdubbeld was. Hij voorspelde dat deze wet nog minstens 10 jaar zou gelden. Inmiddels zijn we ruim 55 jaar verder en geldt de wet nog steeds!
De formule van de wet van Moore is te schrijven als:

T(t) = 64 · e^0,346t met t = 0 in 1958

Bereken met hoeveel transistors per jaar het aantal op een chip toenam bij de milleniumwisseling (jaar 2000). Geef je aantal in miljoenen transistors per jaar.

Oplossing:
De milleniumwisseling is op t = 42
De snelheid is de afgeleide: T '(t) = 64 · e^0,346t · 0,346 (die 0,346 komt uiteraard van de kettingregel)
T'(42) = 45 miljoen transistors per jaar.

OPGAVEN

Gegeven zijn de functies f(x) = x • e^0,2x en g(x) = e^0,2x - 4
De lijn x = p snijdt de grafiek van f in punt A en de grafiek van g in punt B
Bereken met behulp van de afgeleide de minimale lengte van lijnstuk AB.

De vorm van de Gateway Arch van architect Eero Saarinen in St. Louis in de Verenigde Staten is een voorbeeld van een zogenaamde kettinglijn.

De formule voor de Gateway Arch is
y = 230 - 0,5a • (e^x/a+ e^-x/a )
Daarbij is a een constante.
Het hoogste punt van de Arch ligt dan bij x = 0.

Bereken a als je weet dat de Gateway Arch 192 meter hoog is.

Als a = 40 dan staan beide poten van de Arch op de grond 195 meter uit elkaar.

Bereken in dat geval algebraïsch de helling die de poten op de grond maken

3.	Gegeven is de functie: f(x) = e^{1 - x²}

	Een lijn raakt de grafiek van f in het punt met x-coördinaat 2. Bereken het snijpunt van deze raaklijn met de x-as.

4.	Koolstof-14 (¹⁴C) is een radioactieve variant van koolstof die gebruikt wordt bij ouderdomsdateringen (zie deze les) De halfwaardetijd van ¹⁴C is 2730 jaar.Voor de stralingsintensiteit geldt dan bij benadering (met t de tijd in jaren) I(t) = I₀ • e^-0,0002539t

	a.	Bereken hoe lang het duurt totdat van een hoeveelheid Plutonium nog maar 60% over is.

	b.	Neem I₀ = 100 en bereken I '(t) bij t = 8000. Geef een interpretatie van dit getal.