© h.hofstede (hhofstede@hogeland.nl)

 
Meer opgaven
   
   
Gegeven zijn de functies  f(x) = xe0,5x en  g(x) = e0,5x - 2
De lijn x = p snijdt de grafiek van f in punt A en de grafiek van g in punt B
Bereken met behulp van de afgeleide de waarde van de minimale lengte van lijnstuk AB.
   
Een kettinglijn is de kromme die precies de vorm beschrijft van een hangende ketting die aan beide uiteinden even hoog is vastgemaakt.

  De algemene formule voor een kettinglijn is  y = 0,5a • (ex/a + e-x/a )
Daarbij is a een constante die o.a. afhangt van het gewicht van de ketting.
Daarbij ligt het laagste punt van de ketting bij x = 0.
   
  a. Twee palen staan 4 meter uit elkaar.
Een ketting waarvoor a = 0,8  is tussen deze twee palen vastgemaakt. Bereken algebraïsch de helling van de ketting in een ophangpunt.
       
  b. Een ketting is op hoogte 5 meter vastgemaakt. Het laagste punt van de ketting hangt 2 meter boven de grond. Bereken de waarde van a voor deze ketting.
     
Gegeven is de functie:
 

f(x) = e0,5 - x²

       
  Een lijn raakt de grafiek van f in het punt met x-coördinaat 1. Bereken het snijpunt van deze raaklijn met de x-as.
       
.
In ruimtesondes zoals Voyager, Galileo en Cassini wordt stroom opgewekt door een hoeveelheid plutonium die door natuurlijk verval warmte genereert. Een dergelijke energiebron levert een gering vermogen maar gaat lang mee.

239Pu heeft een halveringstijd van 24 duizend jaar.
Voor het stralingsniveau geldt dan bij benadering (met t de tijd in jaren)   P(t) = P0e-0,000029t 

       
  a. Bereken hoe lang het duurt totdat van een hoeveelheid Plutonium nog maar 80% over is.
       
  b. Neem P0 = 100 en bereken  P'(t) bij t = 20000. Geef een interpretatie van dit getal.
       
 
MEER OPGAVEN
   
5.

dr. Marcel Minnaert schreef een echte klassieker: "De natuurkunde van het vrije veld", waarin hij allerlei "alledaagse"
verschijnselen natuurkundig verklaart. Zo ziet iemand die steeds verder een bos inloopt in de verte nog licht van de bosrand tussen de stammen door. Maar die hoeveelheid licht wordt steeds kleiner.
Minnaert vond het verband:  I(l) = I0 • e-NDl 
Daarin is  I de lichtintensiteit, I0 de intensiteit aan de bosrand, N het aantal bomen per m2, D de diameter van een boom op ooghoogte (in m) en l de afstand tot de bosrand (in m).

Een bepaald bos heeft N = 0,9 en D = 0,12.

       
  a. Hoe ver moet je dit bos inlopen zodat nog maar 30% van het licht van de bosrand te zien is?
       
  b. Op welke plaats vanaf de bosrand neemt de intensiteit van het licht van de bosrand af met 1% van I0 per meter?
       
6.

Examenopgave  HAVO Wiskunde B, 2008.

De functie heeft een voorschrift dat een combinatie is van twee functievoorschriften:
 
  De grafiek van  f  bestaat dus ook uit twee delen.
Deze twee delen sluiten in het punt (2, 3) weliswaar precies op elkaar aan, maar de hellingen van de twee grafiekdelen in dit punt zijn verschillend. Zie de figuur hieronder.
   
  a. Bereken met behulp van differentiëren hoe groot die hellingen zijn
 
 
     
   
  De grafiek uit deze figuur wordt eerst evenwijdig aan de x-as en vervolgens evenwijdig aan de y-as zo verschoven dat de top T van de grafiek in de oorsprong (0, 0) komt te liggen.
  Bij de nieuwe grafiek die daardoor ontstaat, hoort een andere combinatie van twee functievoorschriften
       
  b. Geef een functievoorschrift dat hoort bij het linkerdeel van de nieuwe grafiek. Licht je werkwijze toe.
       
7. Een jongetje merkt na een klein onderzoek, dat het aantal snoepjes dat hij bij St. Maarten op een avond ophaalt nogal afhangt van hoeveel andere kinderen er in de wijk lopen.
Hij stelt het volgende model op:  S(k) = 65 • e-0,012k   
Daarin is S het aantal snoepjes en k het aantal kinderen.
       
  a. Bereken hoeveel kinderen er maximaal mogen lopen als hij minstens 30 snoepjes wil krijgen.
       
  b. De eigenaar van de supermarkt in de wijk is vooral geïnteresseerd in de totale hoeveelheid snoep die in de wijk zal worden uitgedeeld.
Bereken de hoeveelheid snoep die maximaal zal worden uitgedeeld.
       
8. In klein stadje krijgt men te maken met een rattenplaag. Op het moment dat men daar achter komt zijn er al 100 ratten. Het stadsbestuur looft direct een bedrag uit voor elke dode rat die ingeleverd wordt. Dat helpt niet direct: eerst blijft het aantal ratten nog stijgen, maar na verloop van tijd  is de epidemie over zijn hoogste punt heen, en daalt het aantal ratten weer. Het volgende model blijkt het aantal ratten aardig te beschrijven:
       
 

       
  Daarin is R het aantal ratten en t de tijd in weken vanaf het ontdekken van de plaag
       
  a. Met welke snelheid (ratten per dag) neemt het aantal ratten af op t = 4? Geef een algebraïsche berekening.
       
  b. Op welk moment is de snelheid waarmee het aantal ratten toeneemt maximaal?
     

© h.hofstede (hhofstede@hogeland.nl)