|
©
h.hofstede (hhofstede@hogeland.nl) |
|
|
Meer opgaven |
|
|
|
|
|
|
Gegeven
zijn de functies f(x) = x • e0,5x
en g(x) = e0,5x
- 2
De lijn x = p snijdt de grafiek van f in punt A en
de grafiek van g in punt B
Bereken met behulp van de afgeleide de waarde van de minimale lengte van lijnstuk AB. |
|
|
|
Een kettinglijn is de kromme die
precies de vorm beschrijft van een hangende ketting die aan
beide uiteinden even hoog is vastgemaakt. |
|
|
De algemene formule voor een kettinglijn is y = 0,5a
• (ex/a + e-x/a )
Daarbij is a een constante die o.a. afhangt van het
gewicht van de ketting.
Daarbij ligt het laagste punt van de ketting bij x = 0. |
|
|
|
a. |
Twee palen staan 4 meter uit elkaar.
Een ketting waarvoor a = 0,8 is
tussen deze twee palen vastgemaakt. Bereken algebraïsch de
helling van de ketting in een ophangpunt. |
|
|
|
|
|
b. |
Een ketting is op hoogte 5
meter vastgemaakt. Het laagste punt van de ketting hangt 2 meter
boven de grond. Bereken de waarde van a voor deze
ketting. |
|
|
|
|
Gegeven is
de functie: |
|
f(x)
= e0,5 -
x² |
|
|
|
|
|
Een lijn raakt de grafiek van
f in het punt met x-coördinaat 1. Bereken
het snijpunt van deze raaklijn met de x-as. |
|
|
|
|
. |
In ruimtesondes zoals Voyager, Galileo en Cassini wordt
stroom opgewekt door een hoeveelheid plutonium die door
natuurlijk verval warmte genereert. Een dergelijke
energiebron levert een gering vermogen maar gaat lang mee.
239Pu heeft een halveringstijd van 24 duizend jaar.
Voor het stralingsniveau geldt dan bij benadering (met t de tijd
in jaren) P(t) = P0 • e-0,000029t |
|
|
|
|
|
a. |
Bereken hoe lang het
duurt totdat van een hoeveelheid Plutonium nog maar 80% over is. |
|
|
|
|
|
b. |
Neem P0 =
100 en bereken P'(t) bij t
= 20000. Geef een interpretatie van dit getal. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
dr. Marcel Minnaert schreef een echte klassieker: "De
natuurkunde van het vrije veld", waarin hij allerlei "alledaagse"
verschijnselen natuurkundig verklaart. Zo ziet iemand die steeds verder
een bos inloopt in de verte nog licht van de bosrand tussen de stammen
door. Maar die hoeveelheid licht wordt steeds kleiner.
Minnaert vond het verband: I(l) = I0 •
e-NDl
Daarin is I de lichtintensiteit, I0 de intensiteit
aan de bosrand, N het aantal bomen per m2, D de diameter van
een boom op ooghoogte (in m) en l de afstand tot de bosrand (in
m).
Een bepaald bos heeft N = 0,9 en D = 0,12. |
|
|
|
|
|
a. |
Hoe ver moet je dit
bos inlopen zodat nog maar 30% van het licht van de bosrand te zien is? |
|
|
|
|
|
b. |
Op welke plaats vanaf
de bosrand neemt de intensiteit van het licht van de bosrand af met 1%
van I0 per meter? |
|
|
|
|
6. |
Examenopgave HAVO Wiskunde B, 2008.
De functie
f heeft een voorschrift dat een combinatie is van twee
functievoorschriften: |
|
|
|
De grafiek van f
bestaat dus ook uit twee delen.
Deze twee delen sluiten in het punt (2, 3) weliswaar precies op elkaar
aan, maar de hellingen van de twee grafiekdelen in dit punt zijn
verschillend. Zie de figuur hieronder. |
|
|
|
|
a. |
Bereken
met behulp van differentiëren hoe groot die hellingen zijn |
|
|
|
|
|
|
|
|
De grafiek uit
deze figuur wordt eerst evenwijdig aan de
x-as
en vervolgens
evenwijdig
aan de
y-as
zo verschoven dat de top
T
van de
grafiek in de
oorsprong
(0, 0) komt te liggen. |
|
Bij de nieuwe
grafiek die daardoor ontstaat,
hoort een
andere combinatie van twee functievoorschriften |
|
|
|
|
|
b. |
Geef een
functievoorschrift dat hoort bij het linkerdeel van de nieuwe grafiek.
Licht je werkwijze toe. |
|
|
|
|
7. |
Een jongetje merkt na een
klein onderzoek, dat het aantal snoepjes dat hij bij St.
Maarten op een avond ophaalt nogal afhangt van hoeveel
andere kinderen er in de wijk lopen.
Hij stelt het volgende model op: S(k) = 65
• e-0,012k
Daarin is S het aantal snoepjes en k het aantal
kinderen. |
|
|
|
|
|
a. |
Bereken hoeveel
kinderen er maximaal mogen lopen als hij minstens 30
snoepjes wil krijgen. |
|
|
|
|
|
b. |
De eigenaar van de supermarkt
in de wijk is vooral geïnteresseerd in de totale
hoeveelheid snoep die in de wijk zal worden uitgedeeld.
Bereken de hoeveelheid snoep die maximaal zal worden
uitgedeeld. |
|
|
|
|
8. |
In klein stadje krijgt men te
maken met een rattenplaag. Op het moment dat men daar
achter komt zijn er al 100 ratten. Het stadsbestuur
looft direct een bedrag uit voor elke dode rat die
ingeleverd wordt. Dat helpt niet direct: eerst blijft
het aantal ratten nog stijgen, maar na verloop van tijd
is de epidemie over zijn hoogste punt heen, en daalt het
aantal ratten weer. Het volgende model blijkt het aantal
ratten aardig te beschrijven: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Daarin is R het aantal ratten
en t de tijd in weken vanaf het ontdekken van de
plaag |
|
|
|
|
|
a. |
Met welke snelheid (ratten per
dag) neemt het aantal ratten af op t = 4? Geef
een algebraïsche berekening. |
|
|
|
|
|
b. |
Op welk moment is de snelheid
waarmee het aantal ratten toeneemt maximaal? |
|
|
|
|
©
h.hofstede (hhofstede@hogeland.nl) |
|
|
|
|