Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Redeneringen met Goniometrie.

De voorgaande lessen heb je geleerd om grafieken van goniometrische formules te schetsen en andersom om bij gegeven grafieken goniometrische formules op te stellen.
Tot slot bekijken we in deze les nog een aantal toepassingen. Geen nieuwe stof; gewoon gebruiken wat je al weet.

1. Maxima en Minima.

Nou ja, dat is eigenlijk te makkelijk om te noemen.
Het maximum is altijd de evenwichtslijn plus de amplitude, en het minimum is altijd de evenwichtslijn min de amplitude.

2. Snijpunten.

Als je snijpunten van sinusgrafieken met andere grafieken of lijnen wilt berekenen dan gebruik je eigenlijk altijd de optie intersect van de GR.

Voorbeeld:
Voor de hoogte van de zeespiegel in een bepaalde badplaats geldt de volgende formule:
H(t) = 3,1 + 2,8 × sin(^p/₃(t - 5,4))
Daarin is H de hoogte in meter en t de tijd in uren (t = 0 om 0:00 uur)

Hoeveel procent van de tijd is de zeespiegel hoger dan 5 meter?

Oplossing:
Y1 = 3 + 2,8sin(^p/₃(t - 5,4))
Y2 = 5
intersect geeft t = 0,11 en t = 1,69
daartussen ligt 1,58 uur
de periode is ^2p/_(p/3) = 6
dat is dus ^1,58/₆ × 100% = 26,3%

3. Helling.

Laten we nog even doorgaan op het vorige voorbeeld:

Voor de hoogte van de zeespiegel in een bepaalde badplaats geldt de volgende formule:
H(t) = 3,1 + 2,8 × sin(^p/₃(t - 5,4))
Daarin is H de hoogte in meter en t de tijd in uren (t = 0 om 0:00 uur)

Hoe snel (in m/uur) stijgt de zeespiegel om 10:30?

Oplossing:
De snelheid is gelijk aan de helling;
Y1 = 3 + 2,8sin(^p/₃(t - 5,4))
calc - dy/dx bij X = 10.5 geeft 1,72 dus dat stijgt met 1,72 m/uur.

Nou vooruit, nog maar eentje dan:

Neem nogmaals het vorige voorbeeld, maar nu:
Wat is de maximale snelheid waarmee de zeespiegel daalt?

Oplossing:
Een sinusgrafiek daalt maximaal als hij door de evenwichtslijn omlaag gaat. Dat is ¹/₂ periode na het beginpunt.
De grafiek van het voorbeeld heeft beginpunt 5,4 en periode 6
De maximale daling is dus bij t = 8,4.
calc - dy/dx bij X = 8,4 geeft maximale daling -2,93 m/uur.

4. Formules met een parameter.

Soms is de formule nog niet helemaal bekend.
Dan moet je één (of meer) van de getallen uit die formule maar zolang een letter geven (ik noem het altijd p van parameter).

Als je dan een ander punt kunt vinden waar de grafiek doorheen moet gaan dan kun je die p berekenen door dat punt gewoon in te vullen:

Voorbeeld.
Een sinusgrafiek heeft evenwichtslijn y = 4 en amplitude 3 en periode 8.
Waar moet je het beginpunt kiezen zodat de grafiek door (5, 6) gaat?

Oplossing.
De voorlopige formule is y = 4 + 3sin(^2p/₈(x - p))
Die moet door (5,6) gaan dus dat kun je invullen:
6 = 4 + 3sin(^2p/₈(5 - p))
Y1 = 6
Y2 = 4 + 3sin(^2p/₈(5 - X))
calc - intersect geeft X = 1,93 of X = 4,07 of X = 9,93 of ......
Er zijn meerdere oplossingen want de periode is immers 8.

OPGAVEN

Over een weg wordt een zogenaamd ecoduct aangelegd.
Dat is een viaduct waar het wild overheen kan trekken om niet een autoweg pover te hoeven steken. Het verbindt dus twee bosdelen met elkaar.

De middelste tunnel is voor autoverkeer (beide richtingen), de linker is voor fietsverkeer (ook beide richtingen) en de rechter is voor wandelaars. Alle drie de tunnels hebben van voren gezien de vorm van een sinusgrafiek, met links en rechts een minimum.
Voor de fietstunnel liggen die minima bij x = 0 en x = 6, voor de autotunnel liggen ze bij x = 6 en x = 20 en voor de voetgangerstunnel liggen ze bij x = 20 en x= 22. Zie de figuur.

Voor fietstunnel is de formule h = ⁴/₃+ ⁴/₃sin(^p/₃(x - 1,5)) gebruikt.
De fietstunnel moet voldoende ruimte hebben voor twee fietsers om elkaar makkelijk te passeren.
Dat betekent in praktijk dat er minstens een breedte van 2 meter moet zijn waar de hoogte ook overal minstens 2 meter is.

Onderzoek over welke breedte van de fietstunnel bij dit ontwerp de hoogte minimaal 2 meter is.

De rechter voetgangerstunnel heeft een breedte van 2 meter en een maximale hoogte van 4 meter. Hierbij hoort een formule bij van de vorm
h = a + asin (c(x + d)) met h de hoogte van de golf in meter boven het laagste punt en x de horizontale afstand in meter vanaf het beginpunt van de linker golf (de oorsprong)

Bereken de waarden van a, c en d in deze formule.

Het middengedeelte heeft een breedte van 14 m
Het hoogste punt moet zo gekozen worden dat over een breedte van 8 meter de hoogte minstens 3 meter is

Bereken hoe hoog het hoogste punt van de autotunnel dan gekozen moet worden.

Een apparaat om een geluidsgolf zichtbaar te maken is een oscilloscoop.
Iemand slaat de centrale A-toets op een piano aan, en ziet dat dat op een oscilloscoop een sinusvormige golf geeft met frequentie 440 Hz en amplitude 14.
Frequentie 440 Hz betekent dat wil zeggen dat er 440 trillengen per seconde zijn.
De formule voor deze geluidsgolf als functie van de tijd kan gegeven worden door h(t) = 14sin(2765t)

Leg duidelijk uit waar die factor 2765 in deze formule vandaan komt.

Bereken hoeveel procent van de tijd de uitwijking van de golf meer dan méér dan 12 is.

Van de maan is ook bij een wolkeloze hemel niet altijd een even groot gedeelte zichtbaar. Het percentage van de maan dat zichtbaar is, verloopt bij benadering periodiek. Door atmosferische verstoringen is nooit helemaal 100% vanaf de aarde zichtbaar.
Voor het jaar 2017 is dit percentage maximaal 98% (volle maan) op t = 120 en minimaal (nieuwe maan) 0% op t =

Daarbij is t is de tijd in dagen met t = 0 op 1 januari 2017 om 0:00 uur.

Stel een formule op van het verband tussen P en t voor 2017.

Voor een dag in 2020 geldt bij benadering de volgende formule voor het verband tussen P en t:

P = 48 + 48sin (0,212769t - 1,042563)

Bereken hoe lang volgens deze formule de maan in 2020 meer dan 70% zichtbaar is. Rond je antwoord af op een geheel aantal dagen.

Op een bepaald moment in 2020 is tussen twee opeenvolgende dagen de toename van het percentage van de zichtbaarheid van de maan het grootst.

Hoe groot is volgens de bovenstaande formule die toename van het percentage? Geef je antwoord in procenten per dag. Licht je antwoord toe.

Paramecium is de wetenschappelijke naam voor wat wij het pantoffeldiertje noemen, en Saccharomyces is de wetenschappelijke naam voor een soort gist.
Een wetenschapper ontdekte dat er tussen de hoeveelheid pantoffeldiertjes en de hoeveelheid gist in een waterreservoir een verband leek te bestaan. Zij kreeg de volgende grafiek voor de hoeveelheid cellen van elk per gram water:

Het verband tussen deze twee diersoorten wordt een prooi-roofdiercylus genoemd.
Als er in een omgeveing veel gistcellen zijn (prooidieren, P) zijn, dan zal na verloop van tijd het aantal pantoffeldiertjes (roofdieren, R) in die omgeving sterk toenemen, omdat die zich voldoende kunnen voeden met de gist. Door die toename van het aantal pantoffeldiertjes zal het aantal gistcellen teruglopen. Hierdoor kunnen de pantoffeldiertjes minder voedsel vinden en zullen zij in aantal afnemen. Als gevolg daarvan zal het aantal gistcellen weer toenemen. En daarmee begint deze cyclus weer opnieuw. In de volgende figuur is bovenstaande cyclus met twee sinusvormige grafieken gemodelleerd:.

Stel op algebraïsche wijze een functievoorschrift voor P op waarmee je het aantal gistcellen P in deze figuur kunt berekenen als functie van de tijd t in dagen

In de rest van deze opgave gaan we uit van een ander prooi-roofdiermodel:

Hierin is P het aantal prooidieren, R het aantal roofdieren en t de tijd in dagen. In onderstaande figuur zijn de grafieken van P en R geschetst.

In elke periode is er één moment waarop de groeisnelheid van het aantal prooidieren maximaal is. In het bijbehorende punt op de grafiek is de helling dus maximaal.

Bereken deze maximale groeisnelheid.

Iemand zegt: “Op de momenten dat er 120 prooidieren per gram water zijn, zijn er … roofdieren per gram water of … roofdieren per gram water.”

Bereken welke twee getallen op de plaats van de puntjes moeten staan, zodat de uitspraak juist is. Geef deze getallen in gehele individuen per gram water.