© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven
       
Examenopgave VWO Wiskunde A, 2017-I

Op de foto’s zie je het Zentrum Paul Klee in Zwitserland. Het gebouw heeft een bijzondere vorm: het bestaat uit drie afdelingen met daaroverheen een golvend dak.
       
 

       
  De drie afdelingen zijn verbonden door een lange gang. In onderstaande figuur zie je een schematische doorsnede van het gebouw en de lange gang. In deze figuur is duidelijk te zien dat het dak bestaat uit drie golven met verschillende periodes. Ook de hoogtes zijn verschillend.
       
 

       
  Elke golf begint en eindigt op een laagste punt. Voor de linker golf in de figuur kan men de volgende formule opstellen:
       
 

       
  Hierin is h de hoogte van de golf boven het laagste punt in meter en x de horizontale afstand in meter vanaf het beginpunt van deze golf. De vloer van de gang bevindt zich 1 meter boven het laagste punt van de golven. De gang zelf is 3,5 meter hoog.
       
  a. Bereken de lengte van het gedeelte van de gang dat zich geheel onder het linker dak, dus onder de linker golf, bevindt in cm nauwkeurig.
       
  De golf die hoort bij het middelste dak is 51 meter lang en 12,5 meter hoog. Hier hoort een formule bij van de vorm
h = a + asin (c(x + d))  met h de hoogte van de golf in meter boven het laagste punt en x de horizontale afstand in meter vanaf het beginpunt van de linker golf.
       
  b. Bereken de waarden van a, c en d in deze formule.
       
  We kijken nu naar het rechter dak. Om de afmetingen hiervan te berekenen, kan de architect bijvoorbeeld als volgt te werk gaan. Hij gaat voor het dak uit van een sinusoïde met een periode van 39 meter. Verder wil hij dat onder het dak een benedenverdieping past van 24 meter breed en 4,5 meter hoog. In onderstaande figuur is de doorsnede getekend die bij deze situatie hoort. De golf begint linksonder in het punt met coördinaten (0,0).
       
 

       
  c. Bereken, welke hoogte de architect nu minimaal moet nemen voor de golf die hoort bij het dak in deze situatie. Geef je antwoord in dm nauwkeurig.
       
Wisselspanning die op onze stopcontacten staat bestaat uit een sinusoïde met amplitude 220 (Volt).
De frequentie is 50 Hz, dat wil zeggen dat er 50 sinusoïden per seconde plaatsvinden.
de formule voor de spanning als functie van de tijd kan gegeven worden door  V(t) = 220sin(314t)
       
  a. Leg duidelijk uit waar die factor 314 in deze formule vandaan komt.
       
  b. Bereken hoeveel procent van de tijd de spanning méér dan 100V is.
       
Examenvraagstuk HAVO wiskunde B, 2000

Het verloop van de temperatuur kan gedurende de 24 uren van de dag nogal grillig zijn. In vereenvoudigde vorm is het temperatuurverloop gedurende een dag redelijk te benaderen door een sinusoïde met een periode van 24 uur.
Het KNMI hanteert voor De Bilt voor de dagen in de maand juni de volgende waarden: de maximumtemperatuur is 21,0 ºC, deze wordt bereikt om 3 uur 's middags; de minimumtemperatuur is 12,2 ºC.
T is de temperatuur in graden Celsius op een dag in juni en u het aantal uren na middernacht.
       
  a. Stel een formule op van het verband tussen T en u.
       
  Voor een dag in april geldt bij benadering de volgende formule voor het verband tussen T en u:
       
 

       
  b. Bereken hoe lang het volgens deze formule op een dag in april warmer is dan 10 ºC. Rond je antwoord af op een geheel aantal minuten.
       
  Op een bepaald moment op de dag is de temperatuurstijging het sterkst.
       
  c. Hoe groot is volgens de bovenstaande formule die sterkste stijging van de temperatuur? Geef je antwoord in ºC per minuut. Licht je antwoord toe.
       
Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2021-III.

Er bestaan wiskundige modellen die het verband aangeven tussen aantallen prooidieren en roofdieren. Deze modellen worden prooi-roofdiermodellen genoemd.

Als er in een gebied veel prooidieren zijn, dan zal na verloop van tijd het aantal roofdieren in dat gebied sterk toenemen, omdat die zich voldoende kunnen voeden met de prooidieren. Door die toename van het aantal roofdieren zal het aantal prooidieren teruglopen. Hierdoor kunnen de roofdieren minder voedsel vinden en zullen zij in aantal afnemen. Als gevolg daarvan zal het aantal prooidieren weer toenemen. En daarmee begint deze cyclus weer opnieuw. In de volgende figuur wordt een model van zo'n  cyclus weergegeven.
       
 

       
  a. Stel op algebraïsche wijze een functievoorschrift voor r op waarmee je het aantal roofdieren r in deze figuur kunt berekenen als functie van de tijd t in jaren.
       
  In de rest van deze opgave gaan we uit van een ander prooi-roofdiermodel:
 
  Hierin is p het aantal prooidieren, r het aantal roofdieren en t de tijd in jaren. In onderstaande figuur zijn de grafieken van p en r geschetst.
       
 

       
  In elke periode is er één moment waarop de groeisnelheid van het aantal prooidieren maximaal is. In het bijbehorende punt op de grafiek is de helling dus maximaal.
       
  b. Bereken deze maximale groeisnelheid. Geef je eindantwoord in gehele honderdtallen prooidieren per jaar.
       
  Iemand zegt: “Op de momenten dat er 4300 prooidieren zijn, zijn er … roofdieren of … roofdieren.”
       
  c. Bereken welke twee getallen op de plaats van de puntjes moeten staan, zodat de uitspraak juist is. Geef deze getallen in gehele honderdtallen.
     
MEER OPGAVEN
       
5. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2016-II.

 In de Waddenzee varieert de waterhoogte in de loop van de tijd. Eb en vloed wisselen elkaar voortdurend af in een getijdencyclus met een periode van ongeveer 745 minuten. De waterhoogte in het oostelijke deel van de Waddenzee kan worden benaderd met de formule:  h = 125 • cos(2πt/745)

Hierbij is h de waterhoogte in cm ten opzichte van NAP (Normaal Amsterdams Peil) en is t de tijd in minuten. Tijdstip t = 0 komt overeen met een moment waarop h = 125 .

In het oostelijk deel van de Waddenzee liggen verschillende zandbanken die gedurende een deel van een getijdencyclus droog komen te liggen.
De droogligtijd D is het aantal minuten per getijdencyclus dat een zandbank niet geheel onder water ligt. De droogligtijd hangt af van de hoogte van de zandbank: de hoogte van het hoogste punt van de zandbank ten opzichte van NAP.

In het oostelijk deel van de Waddenzee bevindt zich een zandbank met een hoogte van 40 cm boven NAP.
In onderstaande figuur is de grafiek van de waterhoogte h getekend. Tevens is de hoogte van deze zandbank weergegeven. Gedurende één periode zijn er twee tijdstippen waarop de waterhoogte h gelijk is aan de hoogte van de zandbank. We noemen deze tijdstippen t1 en t2 . Het verschil tussen t2 en t1 is de droogligtijd D.
       
 

       
  a. Bereken algebraïsch de droogligtijd D van deze zandbank. Rond je antwoord af op een geheel aantal minuten.
       
 

Op drooggevallen zandbanken kunnen waddenvogels voedsel vinden. Daarom willen natuuronderzoekers het verband weten tussen de hoogte van de zandbanken en de tijd dat ze droog liggen.

Met z duiden we de hoogte in cm van de zandbank aan, ten opzichte van NAP. Er geldt dan:
z =  125 • cos(π - π • D/745)
       
  b. Bewijs dit.
       
6. Examenvraagstuk HAVO wiskunde B, 2005
       
  Golfplaat is een bouwmateriaal dat gebruikt wordt voor het afdekken van eenvoudige bouwwerken.
  In de figuur hiernaast zie je een rechthoekig stuk golfplaat.

Bij de grafiek van het vooraanzicht van deze plaat hoort de formule: 
y = 3 + 3sin(0,469x)

       
 

       
  De golfplaat hierboven wordt als afdakje gebruikt. De plaat wordt horizontaal neergelegd en steunt aan de randen  PQ en RS op een muur.

  De ruimtes tussen de bovenrand van de muur en de golfplaat worden afgedicht met houten blokjes. Deze blokjes zijn 3,8 cm hoog en hebben een zo groot mogelijke breedte. In de figuur hierboven is dit geschetst.
       
  Het bovenaanzicht van het stuk golfplaat hierboven is een rechthoek PQRS. PQ = 67 cm en RS = 55 cm.
Dit stuk golfplaat wordt diagonaal doorgezaagd. In het bovenaanzicht is de zaagsnede een rechte lijn van S naar Q. De werkelijke vorm van de doorsnede is een sinusoïde.
       
  b Stel een formule op van deze sinusoïde als deze op ware grootte in een assenstelsel zoals in de grafiek hierboven wordt weergegeven
       
7. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2019-I

Aan de rand van het dorp Olst in Overijssel is in 2008 het kunstwerk 'Kantwerk' geplaatst van de Belgische kunstenaar Marc de Roover. Zie de foto.
       
 

       
 

Het kunstwerk stelt de golvende rivier de IJssel voor. De voorkant van het kunstwerk kan door een sinusoïde benaderd worden.

Op de website van de betreffende gemeente is te lezen dat er voor dit kunstwerk 3200 latten zijn gebruikt en dat het een lengte heeft van 100 meter. Telwerk leverde op dat iedere hele periode is opgebouwd uit 60 latten.
De uiteindes van de laagste en de hoogste latten liggen respectievelijk 17 cm en 70 cm boven het gras.
       
 

Annemarie en Floortje willen een paar mooie foto’s voor hun profielwerkstuk maken. Hiervoor willen ze een soort bankje creëren door een plank horizontaal in de golf neer te leggen. Zie de schets in de figuur.
  Annemarie neemt hiervoor een plank met een lengte van één meter mee.
Floortje neemt een plank mee met een andere lengte. De zithoogte van het bankje van Floortje komt uit op 50 cm boven het gras

Onderzoek of Annemarie hoger of lager dan Floortje zit.
       
8. Examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2025-I

De economische historicus Keith Rankin modelleerde in 1998 de schommelingen in de ontwikkeling van de economie van Nieuw-Zeeland op basis van drie periodieke processen oftewel cycli. Hij ging ervan uit dat de zogeheten voorraadcyclus, investeringscyclus en prijzencyclus de economische groei beïnvloeden. Hij baseerde zijn onderzoek op historische gegevens over de economie in de periode 1948–1998.

In onderstaande figuur zijn de invloeden van de drie cycli afzonderlijk weergegeven. Hierbij is de invloed in procenten per jaar ten opzichte van een jaar eerder uitgezet tegen de tijd.
       

       
  Het valt in deze figuur op dat de periodes van de drie cycli nogal van elkaar verschillen. Zo duurt de cyclus met de langste periode vele malen langer dan de cyclus met de kortste periode.
       
  a. Bepaal met behulp van de figuur hoeveel keer zo lang. Geef je antwoord in gehelen.
       
  De invloed van de voorraadcyclus kan worden beschreven met de formule:

    V(t) = 0,8 + sin(2,445(t - 0,024)

Hierin is V de (voorspelde) economische groei door de voorraadcyclus in procenten per jaar ten opzichte van het voorgaande jaar en t de tijd in jaren met t = 0 op 1 januari 1948.

In bovenstaande figuur kun je zien dat de voorraadcyclus op 1 september 1948 zorgde voor een maximale economische groei van 1,8% ten opzichte van het jaar ervoor. Verder geldt dat de minimale economische groei die veroorzaakt wordt door de voorraadcyclus gelijk is aan -0,2% ten opzichte van het jaar ervoor. De voorraadcyclus heeft een periode van 2,57 jaar.
       
  b. Licht toe hoe de formule voor V uit deze gegevens volgt.
       
  De formule voor V geeft de economische groei door de voorraadcyclus in procenten per jaar ten opzichte van het voorgaande jaar, zoals eerder aangegeven. Zo betekent V(74) ≈ - 0,17 bijvoorbeeld dat op 1 januari 2022 de voorraadcyclus zorgt voor (ongeveer) –0,17% economische groei ten opzichte van 1 januari 2021. Er was dus sprake van negatieve economische groei.

Op 1 januari 2023 was de economische groei door de voorraadcyclus ten opzichte van 1 januari 2022 weer positief.
       
  c. Bereken de totale economische groei door de voorraadcyclus op 1 januari 2023 ten opzichte van 1 januari 2021. Geef je antwoord in procenten in één decimaal.
       
  De investeringscyclus en de prijzencyclus uit bovenstaande figuur kunnen beschreven worden met de formules:

     I(t) = 1,6 + 1,6sin(0,604(t - 2,933))   en    P(t) = sin(0,126(t + 5,083))

Hierin is I de economische groei door de investeringscyclus in procenten per jaar ten opzichte van het voorgaande jaar, P de economische groei door de prijzencyclus in procenten per jaar ten opzichte van het voorgaande jaar en t de tijd in jaren met  t = 0 op 1 januari 1948.

In 1998 vergeleek Rankin een theoretisch patroon op basis van de som van de drie cycli met de werkelijke economische groei in de periode 1978–1998. Zie onderstaande figuur.
       
 

       
  Ondanks de verschillen tussen het theoretische patroon en het werkelijke patroon, vond Rankin dat er voldoende overeenkomsten waren om voorspellingen te doen. Hij voorspelde bijvoorbeeld dat na een periode van flinke groei in de jaren vóór 2008, de groei daarna sterk zou afnemen. Deze voorspelling bleek uit te komen.

Het theoretische patroon van Rankin ontstaat door de invloeden van de drie cycli bij elkaar op te tellen. Volgens dit patroon zal de economische groei ergens in de periode 2025–2035 negatief zijn. Er is dan sprake van krimp. In de periode 2025–2035 is er een jaar waarin de krimp maximaal is.
       
  d. Bereken deze maximale krimp. Geef je antwoord in procenten per jaar in twee decimalen.
       
9. Examenvraagstuk VWO-A 2025-II

Golven op het water kunnen op verschillende manieren ontstaan, bijvoorbeeld door wind of door schepen. In deze opgave bekijken we golven die ontstaan door een varend schip. De golflengte is de afstand tussen twee opeenvolgende golftoppen.

Golven verplaatsen zich over het water. De snelheid waarmee een golf zich over het water verplaatst, is afhankelijk van de golflengte. Het verband tussen de golflengte en de snelheid waarmee een golf zich verplaatst, wordt gegeven door de volgende formule:
       
  V = 1,25 · ÖL         (formule 1)
       
  Hierbij is L de golflengte in meters en V de snelheid waarmee de golf zich verplaatst in meter per seconde.
Als L toeneemt, dan neemt ook V toe. De grafiek van V is dus stijgend.
       
  a. Stel een formule op voor de afgeleide van V en beredeneer met behulp hiervan of de stijging afnemend of toenemend is.
       
  Een schip en de golf die door dat varende schip ontstaat, verplaatsen zich met gelijke snelheid (samen) door het water. Als een schip langzaam vaart, dan ontstaat er langs het schip een golf zoals in onderstaande figuur. Er zijn dan meerdere toppen van de golf zichtbaar langs de zijkant van het schip. In deze figuur is tevens een assenstelsel toegevoegd.
       
 

       
  De voorkant van het schip valt samen met een top van de golf. Omdat het schip en de golf samen dezelfde kant op bewegen, blijft die top tijdens het varen samenvallen met de voorkant van het schip. Een schip van 30 meter lang vaart met een snelheid van 3 meter per seconde. De golf die door het varen ontstaat heeft een amplitude van 15 centimeter. De golf is te beschrijven met de formule:

   h = 15·sin(a(x - b))      (formule 2)

Hierbij is h de hoogte ten opzichte van de evenwichtsstand in centimeters en x de afstand vanaf de voorkant van het schip in meters, met 0  £ x £ 30.
De waarden van a en b in formule 2 zijn te berekenen door gebruik te maken van formule 1.

       
  b. Bereken a en b in formule 2. Geef a en b in twee decimalen.
       
  Om de hoogte van de golven van een schip te verkleinen, is de bulbsteven uitgevonden. De bulbsteven is een uitstekende bult aan de voorkant van een schip. Zie de foto.
       
 

       
  Normaal gesproken bevindt de bulbsteven zich (grotendeels) onder water. Omdat het schip op de foto geen lading vervoert, is de bulbsteven boven water zichtbaar. Zowel het schip als de bulbsteven veroorzaken een golf. De golf van de bulbsteven dempt de golf van het schip gedeeltelijk. Een schip met een lengte van 100 meter veroorzaakt bij een bepaalde vaarsnelheid een golf met de formule:
       
 

       
  en de bulbsteven van het schip veroorzaakt een golf met de formule:
       
 

       
  Hierbij zijn hschip en hbulb de hoogtes ten opzichte van de evenwichtsstand in centimeters en is x de afstand vanaf de voorkant van het schip in meters met 0 £  x  £  100.
De formule die hoort bij de gecombineerde golf van het schip en de bulbsteven wordt verkregen door hschip en hbulb op te tellen. Zie onderstaande figuur.
       
 

       
  De amplitude van de gecombineerde golf is kleiner dan de amplitude van de golf van het schip zonder de bulbsteven.
       
  c. Bereken hoeveel de amplitude van de gecombineerde golf kleiner is dan de amplitude van de golf van het schip zonder de bulbsteven. Geef je antwoord in gehele centimeters.
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)