© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Herhaling afgeleide.  
       
Voordat we naar nieuwe regels voor het opstellen van de afgeleide functie gaan doen we  eerst even een herhaling van de stand tot nu toe.

1.  Wat stelt het voor?

De afgeleide van een functie f  noteren we als f '  of  df/dx
Het is een andere naam voor al de volgende dingen:
     
  · De helling van de grafiek van f.
  · Hoe steil de grafiek van f  loopt.
  · De r.c. van de raaklijn aan de grafiek van f.
  · De snelheid waarmee f verandert.
  · De werkelijke snelheid  (als f de afstand voorstelt als functie van de tijd).
       
2.  Hoe bepaal je  f' met de GR?
       
  Dat kan op twee manieren:
       
  · Als je de helling van f wilt weten in één punt( of de snelheid op één moment)  dan voer je de formule van f in de GR in bij  Y1 = , en dan gebruik je vervolgens:
   

calc - 6:dy/dx -    X = .....

       
   
Voorbeeld:  P =  4t2 - 20/(t + 1).  Bereken de helling van de grafiek van P bij t = 3.

Oplossing
Y1 = 4X^2 - 20/(X + 1)
calc - 6:dy/dx  en dan   X = 3  geeft  helling  25,25
       
  · Als je de hele grafiek van f 'wilt hebben  (bijvoorbeeld om de maximale helling te bepalen, of om te kijken waar de helling gelijk is aan een bepaald getal, dan voer je ook de formule van f  in bij Y1 =
Vervolgens gebruik je
   
Y2 =   MATH - nDeriv -     d/dX(Y1)|X=X       
       
    De Y1 kun je vinden bij:    VARS -   Y-VARS  -  1:Function
De grafiek van f ' verschijnt vervolgens bij  Y2.
       
   
Voorbeeld:   N(t) =  3t1,2 + 1,3t + 10 .  Bereken bij welke t de grafiek van N helling 5 heeft

Oplossing:
Y1 = 3X^1,2 + 1,3^X + 10
Y2 = MATH - nDeriv - d/dX(Y1)|X=X
Y3 = 5
calc - intersect tussen Y2 en Y3  geeft  X = t = 2,8652...
       
3.  Hoe bepaal je  f' algebraïsch?
       
  Daar is maar één hoofdregel voor:
       
 

Als  f(x) = xn   dan  is  f '(x) = nxn - 1
       
  Daarbij moet je nog bedenken:
  · losse getallen die bij een formule opgeteld/afgetrokken worden verdwijnen bij de afgeleide.
  · constante getallen waarmee vermenigvuldigd wordt neem je over bij de afgeleide.
  · twee functies die opgeteld of afgetrokken worden kun je beschouwen als twee losse opgaven.
  · de hoofdregel geldt ook voor negatieve n of bij n als (decimale)breuk.
       
   
Voorbeelden:
f   f '

4x3

12x2
2x + 6x5 2 + 30x4
1/x + 8 
=  x-1 + 8		 -x-2 
= -1/x²
Öx + xÖx
= x0,5 + x1,5		 0,5x-0,5 + 1,5x0,5
= 0,5/Öx  + 1,5Öx
 
       
 
 
OPGAVEN
       
1. Geven is de functie  f(x) =  4x2Öx + 8 - 1/x
Geef een vergelijking van de raaklijn in het punt (1,11) aan de grafiek van f.
       
2. Als je een pannetje water op het vuur aan de kook brengt dan neemt de temperatuur in het begin sneller toe dan op het eind. Dat komt natuurlijk omdat het temperatuurverschil tussen de vlammen en het water steeds kleiner wordt als het water opwarmt.

Het volgende model beschrijft de opwarming van een hoeveelheid water:

    T(t) = -0,00064t2 + 0,51t + 5  
   
  Dit verband loopt tot het moment dat het water koopt (100 graden is geworden), want dan warmt het niet verder op.
   
  a. Met hoeveel graden per minuut warmt het water op bij  t = 50?
       
  b. Wat is de gemiddelde opwarmsnelheid (in graden per minuut) van het water tijdens het opwarmen?
       
  c. Na hoeveel seconden is de opwarmsnelheid gelijk aan de gemiddelde opwarmsnelheid uit vraag b?
Geef een algebraïsche berekening.
       
3. Pasfrequentie - ook wel cadans genoemd - verwijst naar het aantal stappen dat je neemt per minuut tijdens het wandelen.
De gemiddelde pasfrequentie neemt bij mensen af als ze ouder worden.
Het volgende model beschrijft het verband tussen gemiddelde pasfrequentie (P in stappen per minuut) en leeftijd (in jaren) redelijk goed voor volwassenen.
       
 

       
  a. Bereken P '(30)  
       
  b. Leg duidelijk uit wat dit getal (uit vraag a) voorstelt.
       
  c. Ik ben een enthousiaste wandelaar en heb al een aantal jaren mijn pasfrequentie bijgehouden (dat kan makkelijk via de stappenteller die ik tijdens het wandelen om heb).  Ik merk dat op dit moment mijn pasfrequentie 0,2 stappen per minuut lager is dan vorig jaar.
Hoe oud ben ik?  En wat is mijn pasfrequentie nu?
       
4. Het bloedvolume V (in liters) is de hoeveelheid bloed die iemand heeft.
Dat bloedvolume hangt af van het gewicht G (in kg) en de lengte L (in meters).
Verder verschilt het voor mannen en vrouwen.
Voor vrouwen geldt ongeveer:

B = 0,036 · L0,317 · G1,084 

Een volwassen vrouw heeft een lengte van 1,68 m

Bereken door middel van differentiëren voor deze vrouw de waarde van de afgeleide voor G = 68 kg en leg uit wat de betekenis is van die waarde.
       
5. f  is de functie  f(x) = x2 - 27Öx

Als je de raaklijn in het snijpunt A van f met de x-as (niet de oorsprong) tekent, dan snijdt die raaklijn de y-as in punt B

Zie de figuur hiernaast

Bereken de oppervlakte van driehoek OAB.

 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)