© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

 
Vergelijkingen met machten.
Laten we makkelijk beginnen.
De vergelijking  xn = p  met n één of ander geheel getal, kunnen we makkelijk oplossen met de rekenregels die we al voor machten hebben geleerd.

De oplossing :  Je neemt gewoon beide kant tot de macht  1/n
Dat gaat dan zó:

xn = p
(xn)1/n  =  p1/n
En  nu mag je die twee machten bij x met elkaar vermenigvuldigen:  xn × 1/n = p1/n
Dus  x1 = p1/n
x = p1/n
 
Tot nu toe geen vuiltje aan de lucht:
 

xn = p    Þ   x =  p1/n
 
 
Maar er is toch iets aparts aan de hand.......

Om dat in te zien beginnen we met plotten van de grafieken van y = x2, y = x3, y = x4 , y = x5  enz.:

Het patroon is wel duidelijk, denk ik: de even machten (x2, x4, x6 , ...)  hebben allemaal een soort van dalparabool-vorm en de oneven machten  (x3, x5, x7, ...) hebben de vorm van een soort "golfje". Dat is ook nogal logisch als je het volgende bedenkt:
• De grafieken gaan allemaal door (0,0).
• Voor hele grote x-waarden wordt y ook heel groot, dus aan de rechterkant schieten de grafieken omhoog.
• Voor grote negatieve x-waarden worden de oneven machten ook negatief maar de even machten positief.
De oneven grafieken lopen dus aan de linkerkant omlaag en de even omhoog.

Wat zijn de gevolgen?
De vorm van deze grafieken heeft gevolgen voor het oplossen van vergelijkingen.
Als we bijvoorbeeld de vergelijking x3 = 4 proberen op te lossen, dan zoeken we eigenlijk het snijpunt van de lijn y = 4  met de grafiek van y = x3 .
In de figuur hiernaast vind je de oplossing bij het rode vraagteken.

Aan het begin van deze les vonden we al dat :
xn = p   ⇒  x = p1/n

In dit geval is de oplossing dus  x = 41/3    (≈ 1,5874...)

Maar kijk wat er gebeurt bij even machten.
Als we op dezelfde manier proberen op te lossen x4 = 4 dan geeft dat de grafiek hiernaast.

En nu zijn er ineens TWEE oplossingen!
Dat komt natuurlijk omdat een negatief getal tot de vierde macht ook weer positief wordt, dus ook 4 kan opleveren.
Die oplossingen zijn  x = 41/4  (≈ 1,4142...)  maar ook  x = -41/4 (≈ -1,4142...)
Het vervelende is, dat we met de regel xn = p   ⇒  x = p1/n  maar één oplossing vinden (de positieve). Er zit niets anders op: We moeten gewoon zelf onthouden dat er een tweede oplossing is bij even machten.

Die even machten zijn maar vervelende dingen, want er is nóg een complicatie.
Dat zie je als je probeert op te lossen xn = p met p een negatief getal. 
Hieronder staan grafieken die horen bij x3 = -2 en x4 = -2.

Links zie je dat er bij x3 = -2 geen problemen zijn: er is gewoon één oplossing en dat is  x = (-2)1/3   (≈ -1,2599...)
Maar rechts zie je dat die even machten alwéér ellende geven: er is geen oplossing.
Dus de oplossing die je zou verwachten:  x = (-2)1/4   Die bestaat helemaal niet!!!

Samengevat:

xn = p
 
Als n oneven is: één oplossing
Als n even is: als p > 0
als p < 0		 twee oplossingen
géén oplossing
   
Decimale machten.
   
De regel om vergelijkingen met machten op te lossen is:

xn = p  ⇒  x = p1/n

Daarbij moet je er bij even n op letten dat er soms twee oplossingen waren (als p > 0)  en soms géén (als p < 0).

Neem nu de vergelijking  x1,2 = 3.
Bovenstaande regel zou hier geven   x = 31/1,2  » 2,498.  En het is natuurlijk niet zo dat 1,2 een even of oneven getal is.
Maar als we 1,2 niet als decimaal getal maar als breuk zouden schrijven , dan staat er;

Dat zou geven  x6 = 35 = 243  en dat zou nu wél twee oplossingen geven, namelijk x =  2431/6 ≈ 2,498  én  x = -2431/6 ≈ -2,498
   

afspraak:

Je hoeft je bij decimale machten niet druk te maken over een tweede oplossing.
da's mooi toch.......?
   
 
 
OPGAVEN
1. Los op:
     
a.  x7 = 12
     
b.  x4 = 9
     
c. 2x6 = 52
     
d.  3x4 + 18 = 0
     
  e.  5x7 + 22 = 2
     
  f. x3 + 10 = 4x3 + 18
     
  g. 4x8 - 10 = 14
     
  h. x7 + 10 = -2x7 + 4
     
  i. 0,2x4  + 5 =  3
     
  j. 0,4x6  - 8 = 8
         
2. Hiernaast staan de grafieken van
f(x) = x2  en  g(x)  = 1/2x6
     
  a. Bereken algebraïsch de coördinaten van de snijpunten van de grafieken van f en g.
     
  b. De lijn y = 3 snijdt de grafieken van f en g in vier punten.

Bereken algebraïsch de horizontale afstanden tussen die vier punten. Geef je antwoorden in twee decimalen nauwkeurig.
 
3. Hiernaast staan de grafieken getekend van y = x5 
en  y = -x5 getekend.
Vanaf een punt P op de grafiek van y = x5 wordt een rechthoek getekend als in de figuur hiernaast.

Als de x-coördinaat van P gelijk is aan p dan is de oppervlakte van deze rechthoek gelijk aan  4p6

     
  a. Toon aan dat dat klopt.
   
  b. Voor welk punt P is de oppervlakte van deze rechthoek gelijk aan 12?  Geef je antwoord in twee decimalen.
   
       
4. Coen is aan het trainen voor de marathon en hij pakt het wetenschappelijk aan. Op de loopband meet hij onder anderen zijn hartslag, zijn ademhalingsfrequentie, zijn loopsnelheid en de hoeveelheid lucht die hij per ademhaling inademt.
De formules die Coen daarvoor ontwikkelt gelden voor snelheden tussen de 5 en 15 km/uur

Voor het aantal ademhalingen (A)  per minuut ontdekt hij het volgende verband:  A = 2,6 × v0,83 
Daarin is v de snelheid in km/uur
       
  a. Bereken algebraïsch het aantal ademhalingen per minuut bij een snelheid van 12 km/uur
       
  b. Bereken bij welke snelheid het aantal ademhalingen per minuut gelijk is aan 20
       
  De hoeveelheid lucht (L in liter) die Coen per ademhaling binnenkrijgt hangt ook af van zijn loopsnelheid.
Er geldt    L =  0,26 × v0,32
Daarin is v weer de snelheid in km/uur
       
  c. Bereken bij welke loopsnelheid Coen  0,6  liter lucht per ademhaling binnenkrijgt
       
  d. Een marathon is 42,195 km, en als Coen die loopt met een constante snelheid van 13 km/uur dan doet hij er dus ongeveer 195 minuten over.
Bereken hoeveel liter lucht Coen op een marathon in totaal inademt als hij met een constante snelheid van 13 km/uur loopt.
       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)