Inhoud.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
De inhoud van een prisma
Een prisma is een lichaam waarvan het bovenvlak en ondervlak evenwijdig zijn, en waarvan bovendien elke horizontale doorsnede dezelfde vorm heeft.
Hiernaast zie je voor een paar prisma's zulke horizontale doorsneden.
De meeste linker figuur is een balk en daarvan is de inhoud bekend:
lengte × breedte × hoogte

Het verschil met de andere prisma's is dat het grondvlak steeds een andere vorm heeft.
Als je lengte × breedte in de balkformule nou ziet als de oppervlakte van het grondvlak, dan staat daar  inhoud = G • h  (G is de oppervlakte van het grondvlak).
Deze formule (I = G • h)  geldt ook voor de andere prisma's:

prisma:  I = G • h
Het Principe van Cavalieri:  Hoe zit dat met die hoogte?
Het idee van Cavalieri was eigenlijk heel simpel. Bekijk het stapeltje munten hiernaast. Links is de totale vorm ongeveer die van een cilinder. Rechts zie je chaos. 
En toch weet je dat de inhoud van beide stapeltjes munten gelijk is. Het zijn immers precies dezelfde munten!
Voor deze stapeltjes geldt: de oppervlakte van een willekeurige doorsnede is steeds hetzelfde en ook de totale hoogte is gelijk.
Als je van het rechterstapeltje de hoogte wilt meten dan moet je van de bovenste munt loodrecht naar het grondvlak gaan. 

Conclusie:

I = G • h  en h is de loodrechte afstand tussen bovenvlak en ondervlak

Dat betekent dus zelfs dat h soms buiten de figuur kan liggen.
Hier is als voorbeeld van een aantal prisma's G en h gegeven:

Een tweede soort figuren...
Hieronder staan een heleboel ruimtelijke figuren.
Kun je ze in twee groepen indelen?

NEE?
LUKT DAT NIET?

En als ik het nou voor doe, kun je dan verzinnen waarom ik die figuren heb ingedeeld zoals hieronder?
Ofwel: wat is de gedachte achter deze indeling?????

Waarin verschilt de bovenste rij van de onderste rij?

NEE?.....  NÓG  NIET?....
Leg dan je hand eens boven op deze figuren.
Dan voel je het vanzelf.
Die onderste rij die prikt!!!!!
Alle figuren eindigen in een PUNT omhoog. En dat heeft nogal ernstige gevolgen voor de inhoud ervan. Je ziet natuurlijk meteen dat de inhoud van figuren die in een punt eindigen kleiner is dan de anderen. Maar HOEVEEL KLEINER???

Hieronder zie je dat in een kubus drie piramides te tekenen zijn die die kubus helemaal vullen. Voor de top van de piramide is steeds punt T gekozen; het grondvlak is gekleurd. De drie piramides zijn gelijk.

Het grondvlak is steeds een grensvlak van de kubus, en de hoogte is steeds een ribbe van de kubus. Kennelijk is de inhoud van zo'n piramide precies 1/3 deel van de inhoud van de kubus.
En dat blijkt voor alle figuren die in een punt eindigen te gelden.
Figuren die in een punt eindigen:  I = 1/3 • G • h

 
Hier is een YouTube filmpjewaar je het nog eens gedemonstreerd krijgt:
 
Als je het nog niet gelooft moet je het bewijs hiernaast maar lezen.
 
 
OPGAVEN
   
1. Bereken de inhoud van de volgende prisma's:
   
 

   
2. Bereken de inhoud van de volgende figuren in één decimaal nauwkeurig:

     
  (Het grondvlak van de tweede is een regelmatige vijfhoek en de top ligt midden boven het grondvlak).
     
3. Een taartpunt is uit een cirkelvormige taart met straal 14 cm gesneden. De hoek bij het middelpunt is 25° en de hoogte is 8 cm.

Bereken de inhoud van de taartpunt (zonder de aardbei)

4. Een regelmatige vierzijdige piramide wordt door een vlak zoals hiernaast in twee delen verdeeld. Daarbij zijn M en N de middens van de ribben

Bereken de verhouding van de inhouden van die twee delen.

       
5. Bereken de inhoud van de "huizen" hieronder.
       

     

 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)