© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Wat is kans?
 
Het woord kans kom je eigenlijk overal tegen:  in het dagelijks leven, in de kranten, in de reclame, noem maar op.
Een paar typische kans-uitspraken:
 
1.  Deze loterij geeft U de grootste kans om miljonair te worden!
2.  De kans om bij mens-erger-je-niet tweemaal achter elkaar 6 te gooien is 1 op de 36.
3.  De kans op een ongeluk bij een vliegtuigvlucht is bij onze maatschappij slechts 1 op de 1.000.000.
4.  De kans om betrapt te worden als je je belastingformulier vals invult is ongeveer 20%.
5.  De kans dat iemand van 30 jaar oud nog 90 wordt is slechts  4%.
6.  De kans op Full-House bij poker is, als je vijf kaarten krijgt, ongeveer 0,0014.
7.  De betrouwbaarheid van deze test is 95%. Dus de kans dat het klopt is 95%
8.  Zwartrijders hebben een kans van  12% om in een jaar gepakt te worden.
9.  Ik heb een letter in gedachten. De kans dat jij die letter raadt is ongeveer 0,0385.
10.De kans dat het op een dag in maart in Nederland regent is 80%.
 
Wat betekent dat allemaal?
 
Deze kansen zijn eigenlijk steeds twee getallen op elkaar gedeeld. We tellen steeds hoe vaak iets voorkomt. Als iets vaak voorkomt is de kans erop groot, als iets minder vaak voorkomt is de kans erop klein. Om de kans ergens op te krijgen delen we het aantal keer dat het voorkomt door het totaal aantal keer dat we bekeken hebben..
Dat geeft een getal tussen 0 en 1 (een percentage als je het met 100 vermenigvuldigt).
Voor de 10 voorbeelden hierboven zou dat het volgende kunnen betekenen:
     
1 Bij onze loterij is de verhouding  aantal prijzen/totaal aantal loten  het grootst.
2 Voor twee keer gooien met een dobbelsteen zijn er 36 mogelijke uitkomsten. Ik heb ze allemaal opgeschreven.
Eén van die 36 is de worp 6-6.  kans  = 1/36
3 aantal vluchten met een ongeluk/totaal aantal vluchten = 0,000001
4 We hebben een enquête gehouden en mensen gevraagd of ze hun formulier eerlijk invulden en of ze betrapt zijn.
Van de 2000 vals-invullers waren er 400 betrapt.  kans = 400/2000
5 We hebben 12000 mensen van 30 jaar oud nog 60 jaar lang in de gaten gehouden.
Na die 60 jaar leefden nog  480 mensen van hen.   kans = 480/12000
6 We hebben een computer 10000000 pokerhanden willekeurig laten schudden. Bij 14000 handen had je Full-House.
kans = 14000/10000000
7 Van elke 100 tests die we doen geven er gemiddeld 5 een foute uitslag.
Dus geven 95 een goede uitslag:  kans = 95/100
8 We hebben een groep van 1000 mensen gevraagd expres een jaar zwart te gaan rijden (dus geen wegenbelasting te betalen). We beloofden ze om de eventuele boete voor hen te zullen betalen. We moesten dat jaar 120 boetes betalen.  kans = 120/1000
9 Ik heb dit spelletje met  2000 mensen gespeeld en 77 hadden het goed.  kans  = 77/2000
10 Het KNMI heeft de afgelopen jaren van alle dagen bijgehouden of het regende of niet. Daarvan waren 1500 dagen in maart en op 1200 van die getelde dagen regende het.  kans = 1200/1500
   
Een adder onder het gras!
 
Kleine Graddus gooit met twee dobbelstenen en telt de aantallen ogen bij elkaar op. Hij wil de kans berekenen dat er 8 uit zal komen. Zijn redenering gaat als hiernaast.

Wat is daar fout aan?

Het zit hem erin dat niet alle 11 uitkomsten even hard meetellen. Bijvoorbeeld 5 kun je gooien op vier manieren (1,4)(4,1)(2,3)(3,2), en  7 kun je gooien op zes manieren (1,6)(6,1)(2,5)(5,2)(3,4)(4,3). De regel van gunstig/mogelijk geldt alleen bij "gelijkwaardige" uitkomsten.
 

Wanneer zijn uitkomsten gelijkwaardig? Je mag natuurlijk niet zeggen "als de kans erop even groot is" want dan gebruik je het begrip kans in de definitie van kans, en dat mag natuurlijk niet. Meestal wordt "gelijkwaardig" beredeneerd vanuit symmetrie-eigenschappen. Zoals hier, dat elk aantal ogen gelijkwaardig is, dus elk paar ook.
 
TWEE SOORTEN BEREKENINGEN:  Theoretisch en Experimenteel.
 
Om kansen te berekenen of te schatten hebben we hierboven gezien dat je moet uitrekenen

Maar hoe bereken of bepaal je die aantallen mogelijkheden?
Daarvoor zijn twee manieren:
 

 
De eerste is de experimentele manier (heet ook wel empirisch). Je gaat gewoon veel gegevens verzamelen (steekproeven houden, enquêtes laten invullen, metingen verrichten, noem maar op). Dan tel je gewoon het gunstige aantal gevallen dat is voorgekomen, en deelt dat door het totaal aantal gevallen. Als je maar genoeg gegevens verzamelt (hoe meer hoe beter) zal dat vrij nauwkeurig de gevraagde kans opleveren.
   
voorbeeld:

Je wilt graag weten hoe groot de kans is dat iemand die bij Albert Hein zijn boodschappen doet meer dan €40,- uitgeeft. Nou, ga een AH-winkel in en vraag gewoon heel vele klanten voor hoeveel geld ze hebben gekocht.
Als van de 500 gevraagde mensen er  120 meer dan €40 hebben uitgegeven, dan zal de kans dus ongeveer 120/500 = 0,24 zijn.
 
De tweede is de theoretische manier. Vanachter je bureau kun je de kans ergens op beredeneren. Je hoeft er geen "veldwerk" voor te verrichten, geen stap buiten de deur te zetten. Je kunt beredeneren wat het aantal gunstige mogelijkheden is en ook wat het totaal aantal mogelijkheden is. 
   
voorbeeld:

 Je wilt graag weten hoe groot de kans is, dat drie muntstukken die je laat vallen alle drie op "KOP" terechtkomen. Omdat een muntstuk nou eenmaal niet op zijn rand terechtkomt, en omdat KOP en MUNT gelijkwaardige mogelijkheden zijn, komen alle mogelijkheden voor drie muntstukken,  KKK, KKM, KMK, MKK, KMM, MKM, MMK, MMM,  even vaak voor. Dat zijn 8 gelijkwaardige mogelijkheden waarvan er eentje KKK is. De kans is daarom  1/8 = 0,125.
 
 
 
OPGAVEN
 
1. Iemand zet op twee verschillende willekeurig gekozen velden van een schaakbord een dame. Het zet een zwarte en een witte dame neer.
Hoe groot is de kans dat de dames elkaar kunnen slaan?
2. Drie dobbelaars,  Anna, Beatrix en Corrie, hebben een aantal keren een dobbelsteen gegooid, en telkens genoteerd of het aantal ogen EVEN of ONEVEN was.
Ze hebben per serie van 20 worpen het aantal keer EVEN in een tabel gezet.
Dat gaf de volgende drie tabellen:
Anna
worp nr. 1 - 20 21 - 40 41 - 60 61 - 80 81 - 100 101 - 120 121 - 140 141 - 160 161 - 180
aantal 12 10 6 12 17 9 5 8 10
Beatrix
worp nr. 1 - 20 21 - 40 41 - 60 61 - 80 81 - 100
aantal kop 3 5 12 16 13
Corrie
worp nr. 1 - 20 21 - 40 41 - 60 61 - 80 81 - 100
aantal 11 9 16 15 12
a. Na 40 worpen was één van de drie ervan overtuigd dat zij een valse dobbelsteen had. Wie was dat?
Hoe was haar conclusie na 100 worpen?
     
b. Wie heeft er na afloop de meeste reden om te concluderen dat zij een valse dobbelsteen heeft?
     
c. Wie heeft er na afloop de meeste reden om te concluderen dat zij een zuivere dobbelsteen heeft?
Welke twee redenen heeft zij daarvoor?
     
3. Hieronder staan van de leerlingen in 4 nieuwe A4 klassen de rapportcijfers voor wiskunde waarmee zij vorig jaar in A3 eindigden.
     
 
  klas
A4A A4B A4C A4D totaal

rapportcijfer
wiskunde
in A3

 5 2 4 0 3 9
6 5 2 5 3 15
7 12 6 6 7 32
8 6 10 8 7 31
9 2 3 7 1 13
totaal 27 25 26 21 81
     
  a. Hoe groot is de kans dat een willekeurige leerling hoger dan een 6 had?
     
  b. Hoe groot is de kans dat een leerling die niet in A4A zit een 8 had?
     
  c. Hoe groot is de kans dat een willekeurige leerling niet in A3B zit en wel een 7 had?
     
  d. Hoe groot is de kans dat een leerling die een 7 had in A4C zit?
 
4. Gooi 3 dobbelstenen.
Vermenigvuldig de aantallen ogen met elkaar.
Hoe groot is de kans dat er 8 uitkomt?
 
5. Een wiskundeleerling moet bij een proefwerk over cirkels het getal pi (p) geven met 5 cijfers achter de komma.
Hij weet helaas alleen dat het begint met 3, ..... De rest moet hij volledig gokken.
Hoe groot is de kans dat hij precies goed gokt?
   
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)