kansbomen

	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Kansbomen.

We herhalen nog even de regels die voor En en OF gelden, voorzover we ze in deze les nodig hebben:

P(A én B) = P(A) • P(B) waarbij je P(B) opnieuw moet uitrekenen.

P(A óf B) = P(A) + P(B) als A en B niet tegelijk kunnen voorkomen.

In de vitrine van de bakker liggen 14 heerlijke gebakjes. Het zijn 3 aardbeientompouces, 5 moorkoppen en 6 slagroomgebakjes.

Ik kies er willekeurig 3 gebakjes van uit.
Ik vraag me af hoe groot de kans is dat ik 2 moorkoppen en een slagroomgebakje zal hebben.

Om de mogelijkheden op een wat systematische manier op te schrijven maken ik gebruik van een boomdiagram. Maar daarin teken ik alleen de mogelijke gebeurtenissen; ik hou er nog even geen rekening mee dat er verschillende aantallen zijn.

Zo'n boomdiagram ziet er zó uit: (A = aardbeientompouce, M = moorkop, S = slagroomgebakje)

De eerste splitsing gaat over het eerste gebakje, de tweede over het volgende gebakje en de derde over het laatste gebakje. Let erop dat elk uiteinde van een tak een mogelijkheid voorstelt. Het uiteinde bij de rode pijl stelt bijvoorbeeld voor de mogelijkheid M -M -S. Dus achtereenvolgens een Moorkop, een Moorkop en een Slagroomgebakje.

Drie van die takken leveren 2 moorkoppen en een slagroomgebakje op. Daarbij is een paarse stip gezet. Dat zijn 3 gunstige van de 27 mogelijke takken. Maar nu mag je niet zeggen dat de kans dan ³/₂₇ is.
Waarom niet?
Nou, omdat alle takken niet even zwaar meetellen. We hebben hier niet te maken met gelijkwaardige mogelijkheden omdat er niet van elk soort gebakje evenveel zijn. De takken met een slagroomgebakje komen veel vaker voor dan de takken met een aardbeientompouce. Om daar rekening mee te houden gaan we bij elke tak de kans erop zetten.

KIJK UIT!
Bij het berekenen van die kansen moet je elke keer uitgaan van de situatie op het moment van kiezen.
Punt P van de boom hoort bijvoorbeeld bij eerst een slagroomgebakje EN daarna een aardbeientompouce. Als je nu het derde gebakje moet kiezen, dan moet je je realiseren dat er op dit moment nog 2 aardbeientompouces en 5 moorkoppen en 5 slagroomgebakjes zijn. De kans op een aardbeientompouce is dan dus ²/₁₂. Het is een duidelijk voorbeeld van P(A én B) waarin je P(B) opnieuw moet berekenen.
Als je al de kansen op die manier uitrekent en bij de takken zet dan noemen we het boomdiagram een kansboom. Die ziet er in dit geval zó uit:

Merk vooral op dat bij elke kruising de kansen die eruit voortkomen samen 1 zijn. dat kun je handig gebruiken om te controleren of je geen fout hebt gemaakt met het steeds opnieuw uitrekenen van de kansen.
Voor tak 1 moet het eerste gebakje een moorkop zijn EN het tweede een slagroomgebakje EN het derde een slagroomgebakje. Dus om de kans op tak 1 uit te rekenen moet je die kansen met elkaar vermenigvuldigen. Dat mag omdat we de kans op een tak elke keer opnieuw hebben uitgerekend (zoals moet bij EN).
Dat geeft dat de kans op tak 1 gelijk is aan ⁵/₁₄ • ⁶/₁₃ • ⁵/₁₂ = ²⁵/₃₆₄
Tak 2 geeft een kans van ⁶/₁₄ • ⁵/₁₃ • ⁵/₁₂ = ²⁵/₃₆₄Tak 3 geeft een kans van ⁶/₁₄ • ⁵/₁₃ • ⁵/₁₂ = ²⁵/₃₆₄

Maar om twee slagroomgebakjes en 1 moorkop te krijgen moet je tak 1 OF tak 2 OF tak 3 hebben.
En omdat die takken niet tegelijk kunnen voorkomen (het zijn immers verschillende mogelijkheden) mag je de kansen op die takken bij elkaar optellen.
Dat levert op: P(2 slagroomgebakjes + 1 moorkop) = ²⁵/₃₆₄+ ²⁵/₃₆₄+ ²⁵/₃₆₄= ⁷⁵/₃₆₄

In het algemeen: Een kans kun je met een kansboom in 5 stappen berekenen:

stap 1.	Teken een boomdiagram.
stap 2.	Zet de kansen bij de takken. Denk erom dat je de kansen steeds voor de nieuwe situatie uitrekent.
stap 3.	Kijk welke takken gunstig zijn. (dat waren de drie paarse stippen in het voorbeeld hierboven).
stap 4.	Bereken de kans op die gunstige takken door alle kansen erlangs met elkaar te vermenigvuldigen.
stap 5.	Tel de kansen op de gunstige takken bij elkaar op.

Hieronder zie je hoe het werkt voor de vraag: "Bereken de kans dat een gezin van 4 kinderen bestaat uit 2 meisjes en twee jongens, als bij elke geboorte de kans op een meisje of jongen 0,5 is"

STAP 5: De kans wordt dan 0,0625 + 0,0625 + 0,0625 + 0,0625 + 0,0625 + 0,0625 = 0,375

Vreemdere bomen.....

Tot nu toe waren die kansbomen mooi regelmatig. Dat hoeft niet hoor! Er kunnen ook hele vreemde bomen tevoorschijn komen....
Het volgende voorbeeld zal dat duidelijk maken.

Ik heb een sleutelbos met daaraan 4 sleutels. In het donker moet ik mijn schuur open doen, dus de schuursleutel vinden. Ik probeer ze in willekeurige volgorde gewoon één voor één.
Hoe groot is de kans dat ik bij de tweede of derde sleutel succes heb?

Deze boom is wat vreemder, want hij stopt als je de goede sleutel hebt gevonden. Dus niet alle takken ervan zijn even lang.

De kansboom ziet er uit als hiernaast:
Er zijn twee gunstige takken.

De totale kans wordt ³/₄ • ¹/₃ + ³/₄ • ²/₃ • ¹/₂ = ³/₁₂ + ⁶/₂₄ = ¹/₂

Dit soort experimenten noemen we wel "herhalen tot succes" Dat geeft elke keer zulke "eenzijdige" kansbomen.

Beroemde voorbeelden daarvan:
• Gooi bij Mens-Erger-Je-Niet net zolang met een dobbelsteen tot je 6 gooit
• Doe net zo vaak rijexamen tot je slaagt.
• Een seriemoordenaar vermoordt vrouwen totdat hij gepakt wordt.
• Knock-Out: bij Wimbledon mag je net zolang meespelen totdat je verliest.

OPGAVEN

Bij de verkiezingsformatie in Nederland in 2024 waren er 4 grote partijen die samen een regering gaan vormen.
Dat waren PVV, VVD, NSC en BBB.
Het aantal behaalde stemmen door deze partijen was:

PVV	VVD	NSC	BBB	overig
18	16	13	5	48

Bereken de kans dat van een echtpaar de man en de vrouw:

Beiden op PVV hebben gestemd.

Geen van beiden op NCS heeft gestemd.

Op verschillende partijen uit de regering hebben gestemd.

Een vader heeft op een tweedehands markt twintig Pokémon kaarten gekocht omdat zijn dochtertje die spaart
Zes daarvan heeft zijn dochtertje nog niet, de ander veertien heeft ze al wel.
Hij legt de kaarten in twee stapeltjes van 10 kaarten op tafel zodat niet te zien is welke kaarten in welke stapel zitten.
In de eerste stapel zitten 4 kaarten die zijn dochtertje nog niet heeft en 6 die ze al wel heeft.

Zijn dochtertje mag nu eerst een stapel kiezen en daarna uit die gekozen stapel willekeurig twee kaarten.

Hoe groot is de kans dat zijn dochtertje één kaart krijgt die zo nog niet heeft en één kaart die ze al wel heeft?

Stel dat hij zijn dochtertje eerst laat kijken en alle kaarten in twee stapels laat verdelen (de stapels hoeven niet even groot te zijn).
Hoe zou zijn dochtertje die 20 kaarten dan moeten verdelen om de kans op twee kaarten die ze nog niet heeft zo groot mogelijk te maken? Hoe groot is die kans dan?
(Neem aan dat de dochter niet aan de stapel kan zien hoeveel kaarten er in zitten).

Een "hand" bij klaverjassen bestaat uit 8 kaarten die willekeurig uit een stapel van 32 worden getrokken.
Die stapel bestaat uit 8 schoppens, 8 hartens, 8 ruitens en 8 klaveren.

Hoe groot is de kans dat er in een klaverjashand geen schoppens aanwezig zijn?

Het landelijk slagingspercentage voor het rijexamen lag in 2024 op 42%
Dat betekent dat 42% van de kandidaten die een rijexamen doen daarvoor slaagt.

Hoe groot is de kans dat een kandidaat na vier keer examen doen nog niet is geslaagd?

Ga ervan uit dat alle kandidaten minstens 5 keer proberen hun rijexamen te halen.

Hoeveel procent van de kandidaten zal uiteindelijk 3 keer rijexamen hebben gedaan?

Een analyse van de aandelenkoers wijst uit dat, als de waarde van een aandeel op een bepaalde dag stijgt, dat dan de kans 60% is dat het de dag daarna wéér stijgt (en dus 40% dat het gelijk blijft of daalt).
Als de waarde van een aandeel op een dag niet stijgt dan is de kans slechts 35% dat die waarde de dag daarop wel stijgt.

Op dinsdag stijgt de waarde van een bepaald aandeel.
Hoe groot is de kans dat die waarde op donderdag óók zal stijgen?

Stel dat we 1000 willekeurige dagen bekijken en dat het gemiddeld op X dagen daarvan de waarde van een bepaald aandeel stijgt.
In hoeveel gevallen zal dan de volgende dag die waarde wéér stijgen?
Wat zegt dat over de kans dat dat aandeel op een willekeurige dag stijgt?

Ik heb zes verschillende cijfers in gedachten genomen (van 0 tm 9)
Jij moet nu één voor één gaan raden welke cijfers dat zijn, net zolang totdat je er twee van kent.
Hoe groot is de kans dat je daarvoor drie cijfers moet raden?