© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven  
       
Er zijn vier bloedgroepen, namelijk, O, A, B en AB. In de tabel hieronder zie je hoe deze bloedgroepen over de Nederlandse bevolking zijn verdeeld.
       
 
O A B AB
46% 41% 9% 4%
       
  Bereken de kans dat van een echtpaar de man en de vrouw:
       
  a. Beiden bloedgroep A hebben.
       
  b. Geen van beiden bloedgroep A heeft.
       
  c. Verschillende bloedgroepen hebben.
       
Kleine Karel krijgt voor zijn verjaardag een cadeautje van zijn opa en oma. Op tafel liggen twee portemonnees, één van opa en één van oma. Ze zijn identiek van buiten, maar de inhoud is verschillend!
In de portemonnee van opa zitten  4 briefjes van €10,-  en  3 briefjes van  €20,-  maar in de portemonnee van oma zitten  3 briefjes van  €10,- en  6 briefjes van €20,-.
Kleine Karel kiest eerst willekeurig een portemonnee en mag daarna twee briefjes (ook willekeurig; zonder te kijken) uit die portemonnee halen.
       
  a. Hoe groot is de kans dat hij in totaal €30,- krijgt?
       
  b. Als kleine Karel zelf eerst alle briefjes (dus 7 van €10,- en 9 van €20,-)  over de beide portemonnees mag verdelen, hoe kan hij dat dan het best doen om de kans op in totaal €40,- zo groot mogelijk te maken? Hoe groot is die kans dan?
       
Iemand wil met je wedden dat je uit een 52-kaarten deck niet 3 kaarten willekeurig kunt trekken zonder één van de 12 plaatjes te krijgen. Neem je die weddenschap aan?
       
Kandidaat Wiskunde-B leerlingen worden aan een strenge lichamelijke en psychische test onderworpen alvorens ze tot het vak worden toegelaten. De kans dat een kandidaat slaagt voor de test is 10%. Voor kandidaten die de eerste test niet halen zijn er nog maximaal twee herkansingen, iedere keer met dezelfde slaagkans. Iemand die de derde keer wéér niet slaagt, is definitief afgewezen.
       
  a. Hoe groot is de kans dat een kandidaat wordt afgewezen?
       
  b. Hoeveel procent van de kandidaten zal uiteindelijk twee tests hebben gedaan?
       
Een weerstation voorspelt dat, als het op een bepaalde dag regent, het dan in 50% van de gevallen ook op de volgende dag regent. Als het op een dag niet regent is de kans op regen de volgende dag slechts 30%. Neem aan dat deze getallen kloppen.
       
  a. Het weerstation voorspelt regen voor Maandag.
Hoe groot is dan de kans dat het Woensdag ook zal regenen?
       
  b. Stel dat we 10000 willekeurige dagen bekijken en dat het gemiddeld op X dagen daarvan regent.
In hoeveel gevallen zal het dan de volgende dag regenen?
Wat zegt dat over de kans op regen op een willekeurige dag?
       
Je hebt twee batterijen nodig voor je fototoestel.
In een oude doos zitten 6 batterijen, maar 2 daarvan zijn leeg. Dat kun je aan de buitenkant niet zien, dus je gaat de batterijen één voor één testen tot je twee volle batterijen hebt.  
Hoe groot is de kans dat je precies 3 batterijen moet testen?
       
MEER OPGAVEN
       
7. Hielke en Sietse spelen een tenniswedstrijd over maximaal drie sets. Degene die als eerste twee sets wint heeft de wedstrijd gewonnen. De kans dat Hielke een set wint is 0,3 dus de kans dat Sietse  een set wint is 0,7.
Hoe groot is de kans dat Hielke de wedstrijd wint?
       
8.

Na het goed gemaakte proefwerk kansrekening ga je met vier medeleerlingen de kroeg in.
Je besluit bij het eerste rondje te "knobbelen"  om wie er gaat betalen.
Dat gaat als volgt: één van jullie neemt vijf lucifers, en breekt van vier een stukje af. Hij houdt ze vervolgens zó tussen zijn vingers dat niet te zien is welke de langere lucifer is. Ieder trekt een lucifer, en wie de langste trekt betaalt het rondje.

Joke zegt:  "Ik wil graag eerst trekken want de kans dat de eerste de lange lucifer pakt is slechts 1/5, maar bij de tweede al 1/4"    Laat met een berekening zien dat  Joke niet gelijk heeft.
       
9. Een vrouw loopt op je af met in haar handen drie kaarten. Deze kaarten zijn aan één kant zwart en aan de andere kant rood. Zij legt de drie kaarten willekeurig naast elkaar neer op tafel.
Hoe groot is de kans dat er NIET twee rode kaarten naast elkaar liggen?
       
10.

Drie wiskundigen staan voor een vaas met een onbekend aantal rode en witte knikkers erin.
Ze mogen om de beurt het volgende doen:
Trek willekeurig een knikker uit de vaas en leg die weer terug.
Doe daarna een knikker extra in de vaas (ook rood of wit).

De taak is om ervoor te zorgen dat er na afloop evenveel rode als witte knikkers in de vaas zitten.
De wiskundigen besluiten de volgende, simpele tactiek te volgen:
Als een wiskundige een witte knikker uit de vaas trekt zitten er waarschijnlijk meer witte dan rode knikkers in de vaas, dus dan doet hij een rode erbij. En als een wiskundige een rode knikker trekt doet hij een witte erbij.
Hoe groot is de kans dat deze wiskundigen in hun opdracht slagen als er in het begin twee witte en één rode knikker in de vaas zitten?

       
11. Je hebt niet zoveel zin om voor het volgende proefwerk wiskunde te gaan leren, maar gelukkig doet jouw leraar je een aanbod. Hij heeft een vaas met zes genummerde ballen erin. Zie de figuur hiernaast. Om de beurt gaan jullie geblinddoekt een bal uit de vaas trekken. Hij begint. De ballen leggen jullie niet terug, maar houden jullie bij je. Na afloop is het wiskundecijfer dat je krijgt gelijk aan de som van de drie getallen op de ballen die jij hebt getrokken..

  Je neemt het aanbod aan, maar besluit natuurlijk om stiekem steeds te kijken! Je pakt gewoon steeds de hoogste bal die er nog in de vaas zit.
Hoe groot is de kans dat jij op deze gemene manier een 5 krijgt?
       
12. Je hebt een vaas met zes knikkers, drie rood en drie geel.
Je trekt er twee uit en verft de eerste in dezelfde kleur als de tweede (indien nodig).
Dat doe je twee keer (zonder ze terug te leggen).
Hoe groot is de kans dat je één keer moet verven?
       
13. Kleine Karel wil voor zijn verjaardag graag een nieuwe fiets. Dat vinden zijn ouders goed, maar hij moet er wel iets voor doen. Hij moet drie schaakwedstrijden spelen om en om tegen vader en moeder. Hij mag zelf weten tegen wie hij begint. Hij krijgt zijn nieuwe fiets als hij twee opeenvolgende wedstrijden wint.
Nou weet Kleine Karel dat hij tegen zijn vader 55% kans heeft om te winnen en tegen zijn moeder 45%.
Tegen wie kan hij het beste beginnen om de kans op een nieuwe fiets zo groot mogelijk te maken en hoe groot is die kans?
       
14. Een onderzoeksbureau ontdekte dat de verhouding mannen/vrouwen in het verkeer gelijk was aan 2 : 1.  (Dus 2/3 is man en 1/3 is vrouw). Toen men ging kijken bij hoeveel ongelukken tussen twee chauffeurs vrouwen betrokken waren was dat bij maar liefst 54% van de ongelukken! En jawel, daar waren de krantenkoppen alweer:

"Vrouwen slechte rijders: 33% van de chauffeurs, betrokken bij 54% van de ongelukken!!"

Bereken de kans dat bij een willekeurig ongeluk tussen twee personen een vrouw is betrokken, als mannen en vrouwen een even grote kans hebben op een ongeluk.
Geef commentaar op de krantenkoppen.
       
15. Twee spelers doen mee aan een knock-out tennis toernooi. 
Er zijn 32 deelnemers, en elke ronde wordt geloot wie tegen wie moet. Zodra een speler verliest is hij uitgeschakeld en doet niet meer mee. De winnaars gaan door naar een volgende ronde waarin opnieuw wordt geloot wie tegen wie speelt.
Neem aan dat alle spelers even sterk zijn (dus kans 1/2 hebben om van elke andere te winnen of verliezen)

Hoe groot is de kans dat de twee spelers elkaar tegenkomen?
       
16. Twee meisjes, Annet en Bernice, hebben een vaas met daarin 7 knikkers, 2 roden, 2 groenen en 3 witten.
Ze gaan er, met een blinddoek voor, beiden een knikker uithalen. Annet gaat beginnen.
Na afloop hebben ze beiden één knikker, en wie een rode heeft is de winnaar. Bij allebei een rode of geen van beiden een rode is het gelijkspel.
Bernice is echter een valsspeelster die stiekem kijkt als ze aan de beurt is.
Gelukkig voor Annet is Bernice wel kleurenblind en ziet zij geen verschil tussen rood en groen.

Bernice denkt dat haar winstkans veel groter wordt als zij mag beginnen in plaats van Annet.

Zij heeft gelijk.

Hoeveel wordt haar winstkans groter als zij mag beginnen?
       
17. Als je een officieel feestje geeft (zoals een bruiloft bijvoorbeeld), dan wil je graag van tevoren weten hoeveel mensen er zullen komen. In verband met hoeveel gebakjes je nodig zult hebben en hoeveel drank en zo.

Daarom wordt op uitnodigingen vaak verzocht om even door te geven of men komt of niet.
Het blijkt in praktijk dat van de mensen die komen 80% dat doorgeeft. Van de mensen die niet komen geeft slechts 30% dat door.

Iemand verstuurt 500 uitnodigingen voor een feestje en krijgt 325 reacties terug.
       
  a. Hoeveel van die reacties zullen zeggen dat men komt?
       
  b. Hoeveel mensen zullen er werkelijk komen?
   
18. examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 1992.
       
 

       
  Een schip, geladen met vloeibaar petroleumgas (LPG) ligt een tijdje in de haven aan de steiger. Men vraagt zich af hoe groot de kans is dat er in die periode een ongeluk gebeurt waarbij gas vrijkomt uit deze gastanker.

Met behulp van de vraag 'Wat moet er allemaal misgaan opdat de gastanker aan de steiger gas verliest?' probeert men een model op te stellen. In dat model gaat het uitsluitend om ongelukken als gevolg van een aanvaring door een ander schip. In de volgende figuur zie je hoe zo'n model er uit zou kunnen zien.
       
 

       
  De kansen die bij de verschillende stappen staan, gelden per periode dat een tanker aan de steiger ligt.
       
  a. Laat zien dat de kans op het vrijkomen van gas uit de gastanker die aan de steiger ligt bijna 2% is.
       
  Per jaar verwerkt de haven 20 gastankers.
       
  b. Bereken de kans op minstens 1 ongeluk per jaar in de haven door het vrijkomen van gas uit een gastanker.
       
  Een ander schip raakt de geladen gastanker aan de steiger.
       
  c. Bereken de kans dat er geen gas vrijkomt.
       
19. examenvraagstuk HAVO Wiskunde A,  1996.
       
  Bij de lotto worden iedere week willekeurig zes balletjes getrokken uit een glazen bol waarin 41 balletjes zitten. Deze balletjes zijn genummerd van 1 tot en met 41. De getallen op de zes balletjes worden daarna op volgorde (van klein naar groot) gezet en vormen de winnende zes getallen van de betreffende week.
Iedere deelnemer probeert deze zes getallen te voorspellen door het aankruisen van zes getallen in een kolom (met daarin de getallen 1 tot en met 41) op het lottoformulier. Als de winnende zes getallen door één of meer deelnemers worden voorspeld, wordt de hoofdprijs uitgekeerd. We zeggen dan dat de jackpot valt.
Enige tijd geleden verscheen er een artikel in de krant over de jackpot. Hieronder volgt een citaat uit dat artikel.
       
 
"Acht weken lang is de combinatie van zes getallen, goed voor de jackpot van de lotto niet voorspeld. .... Als 500000 mensen meedoen en er gemiddeld 4,5 kolom per deelnemer ingevuld wordt, dan is er 40% kans dat de jackpot in de eerstkomende week valt. De kans dat de jackpot in de eerste en/of tweede week valt is 64%. In de daaropvolgende weken stijgt de kans op het vallen van de jackpot tot respectievelijk 78%, 87%, 92% en 96%. De kans dat de jackpot gedurende deze zes weken niet valt is 4%..."
       
  In deze opgave controleren we een aantal zaken uit dit krantenartikel.
Neem aan dat de kans dat de jackpot in een bepaalde week valt inderdaad 40% is.

We kijken twee weken vooruit. In de figuur hieronder zijn de verschillende mogelijkheden weergegeven.

       
 

       
  a. Laat zien, uitgaande van bovengenoemde 40%, dat de kans dat de jackpot in de eerste twee weken 1 of twee keer valt gelijk is aan 64%
       
  Vervolgens kijken we zes weken vooruit.
       
  b. Bereken, weer uitgaande van bovengenoemde 40%, de kans dat de jackpot in de komende weken één of meer keer valt.
       
  Als de jackpot op een gegeven moment acht weken achter elkaar niet is gevallen, denken sommige mensen dat de kans dat de jackpot valt groter wordt. Volgens het krantenartikel is hun redenering:
       
 
"De kans dat de jackpot 10 weken achter elkaar niet valt is praktisch nul. Er zijn nu al acht weken voorbij waarin de jackpot niet is gevallen, dus zal de jackpot bijna zeker in één van de twee komende weken vallen"
       
  c. Ben je het eens met deze redenering in het artikel? Licht je antwoord toe.
       
20 Bij het spel "De Weerwolven van Wakkerdam" is er een groep van 8 spelers waarvan er 2 een weerwolf spelen en waarvan er 6 gewone burgers zijn. De groep moet zien te raden wie de weerwolven zijn. Ze spelen een aantal rondes waarbij elke ronde bestaat uit eerst een dag en dan een nacht.

Tijdens de dag besluit de groep door te stemmen één van hen te vermoorden in de hoop dat het een weerwolf is.
In de nacht daarop vermoorden de (overgebleven) weerwolven een burger.

Dat gaat zo door totdat óf alle burgers vermoord zijn, óf alle weerwolven.

Hoe groot is de kans dat de weerwolven beiden vermoord worden? Ga ervan uit dat de burgers elke keer volledig willekeurig kiezen.
       
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)