© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Optellen of Vermenigvuldigen?
Wat moet je met kansen doen als meerdere dingen tegelijk gebeuren?

Bijvoorbeeld:  Je gooit  twee keer een dobbelsteen en je noteert beide aantallen ogen.
Hoe groot is de kans dat het eerste getal groter is dan 4, en dat bovendien de som van de ogen gelijk is aan 10?
Notatieafspraak:

"Kans" noteren we voortaan
met de letter P

De gevraagde kans noteren we dus als  P(eerste groter dan 4  én som 10)
P(eerste groter dan 4) = 12/36, want van de 36 mogelijke uitkomsten zijn er 12 met de eerste steen groter dan 4. Zie het roosterdiagram hiernaast.
Maar nu komt als tweede voorwaarde dat de som 10 moet zijn.
Dan gaat het erom hoeveel van de rode paren hiernaast als som 10 opleveren.
Dat zijn er 2 van de 12  zoals je ziet (55 en 64). De kans dat de som NU nog 10 is, is 2/12.
De totale kans van de gecombineerde gebeurtenissen is dus 2/36.

Die 2/36 kun je ook als volgt uitrekenen:
•  Bij de eerste stap blijft  12/36 deel van het totaal over.
•  Bij de tweede stap blijft van die 12/36 deel nog maar 2/12 deel over
•  Uiteindelijk is dan overgebleven 2/12 van 12/36 van het totaal, en dat is  2/12 • 12/36  = 2/36 van het totaal. 
Merk op dat de kans op som 10 oorspronkelijk gelijk was aan  3/36  maar nadat de eerste al groter dan 4 moest zijn is deze kans veranderd in 2/12 .  Daar moet je wel rekening  mee houden!
Je mag dus zeggen:   P(eerste meer dan 4 én som 10) = P(eerste meer dan 4) • P(som 10)  maar alleen als je die kans op som 10 in de nieuwe situatie uitrekent.  Conclusie:
P(A én B) = P(A) • P(B)   

waarbij  P(B) voor de nieuwe situatie moet worden berekend
Speciaal Geval.
In sommige gevallen kun je de oorspronkelijk kans op B nemen, en hoef je hem niet opnieuw uit te rekenen.

Bijvoorbeeld:
Gooi twee keer met een dobbelsteen. Bereken de kans dat het eerste getal groter is dan 4 én dat het tweede getal even is.

Als we onze regel toepassen dan zien we P(eerste meer dan 4) = 12/36
En daarna P(tweede even ) = 6/12 = 1/2 want de helft van de 12 rode paren heeft een blauw tweede getal. 
De kans wordt dus 12/36 • 1/2 = 1/6
Maar de kans vooraf op een tweede getal even was óók 1/2.
Van de tweede steen is immers de helft even....

Dus van het totaal is de kans 1/2 maar van alleen de rode paren ook!
Hoe komt dat?
De reden is dat de gebeurtenissen  "eerste steen meer dan 4" en "tweede steen even" elkaar niet beïnvloeden. De eerste steen heeft geen invloed op de tweede, daarom is de kans op tweede steen even onveranderd gebleven, wát de eerste steen ook heeft opgeleverd. Zulke gebeurtenissen die elkaar niet beïnvloeden noemen wiskundigen onafhankelijk.
In de regel P(A en B) = P(A) • P(B)  hoef je, als A en B onafhankelijk van elkaar zijn, die tweede P(B) dus niet in de nieuwe situatie opnieuw uit te rekenen omdat hij toch gelijk is aan de oorspronkelijke. Dat scheelt tijd.
We veranderen de regel daarom in:
P(A én B) = P(A) • P(B)   

- waarbij  P(B) voor de nieuwe situatie moet worden berekend
- maar als A en B onafhankelijk zijn kun je de oorspronkelijke P(B) nemen
   
 
 
  OPGAVEN
   
1. Bereken de volgende kansen.
Doe dat, indien mogelijk, met de oorspronkelijke kansen, dus zonder de kans in de nieuwe situatie uit te rekenen.
a. Bereken de kans dat je met een dobbelsteen 2 keer achter elkaar minder dan 3 gooit.
 
b. Hiernaast staan twee vazen met gekleurde knikkers erin.
Uit beide vazen wordt één knikker getrokken.

Bereken de kans dat beide knikkers geel zijn.

 
c. De totale schijf hiernaast bestaat uit 7 gebieden met een getal erin. Hij wordt gedraaid.
Nadat hij tot stilstand is gekomen worden er twee getallen bij de pijl afgelezen.
Bereken de kans dat die beide getallen groter dan 3 zijn.

 
d. Ik ben geabonneerd op de Volkskrant en op het Algemeen Dagblad.
De kans dat de Volkskrant op een dag op tijd is is 85%
De kans dat het Algemeen Dagblad op een dag op tijd is is  90%
Hoe groot is de kans dat op een dag beiden op tijd zijn?
 
e. Ik kies een willekeurig geheel getal kleiner dan 100 (en groter dan nul).
Hoe groot is de kans dat dat getal groter dan 30 is, en bovendien deelbaar door 7?
2. De kans dat ik bij een spelletje poker als eerste kaart een  Harten krijg is 0,25
De kans dat ik bij een spelletje poker als eerste kaart een Aas krijg is ongeveer 0,076
De kans dat ik bij een spelletje poker als eerste Hartenaas krijg is ongeveer 0,019

Zijn de gebeurtenissen  "Ik krijg een Harten " en "Ik krijg een Aas" voor de eerste kaart die ik bij een spelletje poker krijg onafhankelijk van elkaar of niet?
   
3. Ik gooi in één worp drie dobbelstenen op tafel, en als alle aantallen ogen groter dan 4 zijn dan krijg ik een snoepje.
De kans dat ik bij zo'n worp een snoepje krijg is ongeveer 0,037.
     
  a. Toon dat aan.
     
  b. Hoe groot is de kans dat ik bij de zesde worp (met drie stenen) voor het eerst een snoepje krijg?
     
4. Een groep studenten houdt een bierproefwedstrijd.
Ze hebben 5 merken bier gekocht:  Heineken, Amstel, Grolsch, Bavaria en Gulpener.
Der deelnemers krijgen steeds een setje van twee verschillende glazen en moeten raden om welke twee soorten het gaat.
     
  a. Hoeveel verschillende setjes van twee verschillende soorten bier zijn er te maken?
     
  Iedere van de deelnemers heeft van tevoren ook aangegeven welke biersoort hij of zijn zéker kan herkennen.
In het tweede deel van de wedstrijd krijgen de deelnemers 8  keer een groepje van drie verschillende biersoorten te proeven, waarvan één de door hen gekozen favoriete soort is.
     
  b. Hoe groot is de kans dat iemand die alles volledig moet gokken alle acht de groepjes goed kiest?
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)