© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Optellen of Vermenigvuldigen?
Uit de vaas hiernaast trekken we een bal, en stellen ons vooraf de vraag:

"Hoe groot is de kans dat de bal oranje is óf een cijfer minder dan 5 heeft?""

Makkelijk te beantwoorden natuurlijk:

Er zijn 5 gunstige mogelijkheden en 7 mogelijkheden in totaal, dus de kans is  5/7.
Die 5 gunstigen zijn afkomstig van 3 oranje ballen en van 2 ballen lager dan 5.
De kans op een oranje bal is 3/7  en op een bal lager dan 5 is de kans  2/7
Dat geeft totale kans  3/7 + 2/7 = 5/7.  Het lijkt erop dat we een nieuwe regel hebben gevonden:
P(A óf B) = P(A)  + P(B)
Maar pas op! Die regel klopt niet altijd. Lang niet altijd.....
Stel dat we een andere vraag hadden gesteld:

"Hoe groot is de kans dat de bal groen is óf meer dan 7?"

Dan hadden we met onze regel gevonden  P(groen) = 4/7  en  P(meer dan 7) = 3/7  dus  P(groen óf meer dan 7) = 4/7 + 3/7 = 1.  Dat is duidelijk onzin! Je kunt immers ook de oranje bal met 6 pakken!!  De werkelijke kans moet gelijk zijn aan 6/7, dat zie je wel als je gewoon de gunstige mogelijkheden bekijkt zonder onze "slimme" regel te gebruiken.

Waar is het fout gegaan?
Dat zie je als je de gunstige mogelijkheden opschrijft.
De groenen zijn de ballen  1,3,5,9  en meer dan 7 zijn de ballen 8, 9, 11. Dat zijn inderdaad 7 gunstige mogelijkheden. Hoe kan dat?  We hebben bal met nummer 9 dubbel meegeteld!  Die is namelijk  groen én meer dan 7.
Kortom:  onze regel is goed als de gebeurtenissen niet "overlappen", maar als dat wel zo is, dan moeten we de dubbel getelden er nog aftrekken.
De goede regel is de volgende:

P(A óf B)  =  P(A) + P(B) - P(A én B)
In dit laatste geval zou dat geven  4/3 + 3/7 - 1/7 = 6/7  en dat klopt inderdaad wél.
Die laatste P(A én B) is dus alleen nodig als de gebeurtenissen A en B overlappen. Als ze dat niet doen is deze kans gewoon nul.
   
 
 
  OPGAVEN
1. Kies een willekeurig geheel getal groter dan 0 en kleiner of gelijk aan 2000.
Hoe groot is de kans dat dit getal deelbaar is door 12 óf door 5?
   
2. Ik kies willekeurig een figuur uit de verzameling gekleurde  cirkels, rechthoeken, vierkanten en driehoeken hieronder.

Hoe groot is de kans dat de figuur een rechthoek is of niet geel?
   
 

   
3. Als je 3 dobbelstenen op tafel gooit is de kans op precies 2 keer een EVEN aantal ogen gelijk aan 0,375
Hoe groot is de kans op 1 keer óf 2 keer een even aantal ogen?
   
4. Na afloop van een bridgedrive mogen de deelnemers één voor één een prijs uitkiezen uit een voorraad prijzen op de prijzentafel.
Degene die als eerste eindigde mag eerst, daarna degene die tweede werd, enzovoorts.
Op de tafel liggen in totaal 20 prijzen, waaronder één rollade.

Als de prijzen willekeurig gekozen zouden worden hoe groot is dan de kans dat de rollade als tweede OF derde gekozen gaat worden?
   
5. Op een middelbare school wordt er in een klas gestemd wat ze op hun  klasse-uitje zullen gaan doen. De keus gaat uit barbecueën of bowlen.
40% van de leerlingen kiest voor bowlen. 
Van de meisjes kiest 25% voor bowlen. Van alle leerlingen is 55% een jongen.
Hoe groot is de kans dat een willekeurig gekozen leerling kiest voor bowlen óf een meisje is?
         
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)