© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven  
       
Kies een willekeurig geheel getal groter dan 0 en kleiner of gelijk aan 1000.
Hoe groot is de kans dat dit getal deelbaar is door 4 óf door 25?
       
Ik pak uit een doos met schaakstukken willekeurig een stuk.
Hoe groot is de kans dat dit zwart is óf een pion?
       
Als je 5 muntstukken op tafel gooit is de kans op precies 3 keer KOP gelijk aan 0,3125.
Hoe groot is de kans op 3 keer KOP óf 2 keer KOP?
       
In een portemonnee zitten 12 briefjes;  11 van 10 euro en 1 van 50 euro. Ik haal er willekeurig 3 briefjes uit. Elk van die drie briefjes heeft natuurlijk een even grote kans om het briefje van 50 euro te zijn.
Hoe groot is de kans dat de eerste 50 euro is óf de tweede óf de derde?
       
Op onze school  heerst een griepepidemie. 30% van de leerlingen is ziek! Van de meisjes is 25% ziek. Van alle leerlingen is 45% een jongen. Hoe groot is de kans dat een willekeurig gekozen leerling ziek is óf een meisje?
       
MEER OPGAVEN
     
6. Hiernaast zie je een schets van een alarmsysteem.
Als de bewegingsmelder beweging detecteert, dan sluit de schakelaar en gaat er stroom door de kring lopen zodat het alarm afgaat.

Nou is zo'n bewegingsmelder niet helemaal  betrouwbaar.
Er zijn twee  mogelijke fouten die kunnen optreden.

Als eerste  kan de melder soms afgaan terwijl er veel te weinig beweging plaatsvindt. Dat is vervelend, want je wilt natuurlijk niet dat bij elke passerende bromvlieg het alarm afgaat.
De kans dat zoiets gebeurt is 6%.

       
  Een oplossing is om meerdere melders in serie achter elkaar te schakelen. Hieronder zie je dat voor drie melders gedaan.
       
 

       
  a. Hoe groot is nu de kans dat het alarmsysteem een ongewenst alarm geeft?
       
  b. Hoeveel zulke bewegingsmelder zou je in een alarmsysteem achter elkaar moeten schakelen zodat de kans op een ongewenst alarm minder dan één miljoenste wordt?
       
  De tweede fout die op kan treden is, dat de bewegingsmelder NIET reageert terwijl dat wel zou moeten. De kans daarop is 0,08.

Een oplossing daartegen is om meerdere meters parallel te schakelen, zoals hiernaast met drie meters is gedaan.

     
  c. Hoe groot is nu de kans dat het alarmsysteem niet reageert als dat wel zou moeten?
     
  d.. Hoe groot is nu de kans dat het alarmsysteem een ongewenst alarm geeft? 
       
 

       
  e. Bepaal van het alarmsysteem hierboven de kans op een ongewenst alarm en ook de kans dat het alarm niet afgaat terwijl dat wel zou moeten.
       
7. examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 1994.
In de biologie komen we het begrip 'diversiteit' tegen. De diversiteit is een getal dat iets zegt over spreiding van soorten. Het begrip wordt niet alleen in de vrije natuur gehanteerd.
Een viskweker heeft een aantal vijvers met daarin verschillende soorten siervissen. Hoe zijn de vijvers samengesteld? De eenvoudigste manier is het tellen van het aantal verschillende soorten. In vijver 1 en 2 zitten slechts de gewone goudvis en de sluierstaart, en wel in onderstaande verhoudingen.
         
 
  vijver 1 vijver 2
gewone goudvis 90% 50%
sluierstaart 10% 50%
         
  Omdat vijver 1 grotendeels gevuld is met de gewone goudvis. terwijl de twee vissoorten in vijver 2 gelijk verdeeld zijn zou je vijver 2 'gemengder' kunnen noemen dan vijver 1. De vakterm voor 'gemengdheid' is diversiteit.
Simpson gebruikte de kansrekening om diversiteit van een populatie vast te leggen. Hij stelde zich voor dat je met teruglegging willekeurig twee keer een exemplaar kiest. De diversiteit (Div) van de populatie definieerde hij als de kans dat die twee exemplaren van verschillende soort zijn.
         
  a. Laat met een berekening zien dat Div voor vijver 1 kleiner is dan voor vijver 2.
         
  Hieronder is af te lezen hoe de vijvers 3 en 4 zijn samengesteld:
   
 
  vijver 3 vijver 4
gewone goudvis
sluierstaart
hemelkijker
leeuwekopgoudvis		 30%
30%
20%
20%		 30%
0%
50%
20%
         
  b. Bereken Div van vijver 4.    
       

0,62
  Een kweker berekent dat de Div van vijver 3 precies gelijk is aan 0,74. Bij deze vijver is de diversiteit al bijna maximaal. De maximale waarde wordt bereikt als er van elke soort evenveel exemplaren aanwezig zijn.
         
  c. Controleer met een berekening dat de maximale diversiteit bij vier soorten gelijk is aan 0,75.
         
  d. De maximale waarde van Div hangt af van het aantal soorten. Stel dat in een vijver n verschillende soorten zitten. Geef dan een formule voor de maximale Div uitgedrukt in n.
       

1 - 1/n
8. examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 1991.
       
  Bij een ingewikkeld apparaat is vaak een keten van onderdelen nodig om het geheel te laten functioneren. Daarbij is de betrouwbaarheid van een keten (zoals in de figuur hieronder) kleiner dan de betrouwbaarheid van de afzonderlijk delen. Dat komt doordat het uitvallen van één onderdeel het uitvallen van de hele keten tot gevolg heeft.
Bekijk een keten van 5 onderdelen (A, B, C, D en E), die elk een kans van 10% hebben om uit te vallen, of, wat hetzelfde is, die elk een betrouwbaarheid hebben van 90%.
       
 

       
  a. Laat zien dat de betrouwbaarheid van deze keten ongeveer 60% is.
       
  Men kan de betrouwbaarheid vergroten door naast de keten van de figuur hierboven een zelfde keten te schakelen (zie onderstaande figuur). Dit heeft het voordeel dat als één keten uitvalt het systeem nog blijft functioneren.
       
 

         
  b. Bereken de betrouwbaarheid van dit tweede systeem.
         
  Een nog beter systeem krijgt men door de 10 onderdelen zo te schakelen als hieronder weergegeven is.
         
 

         
  Elk van de tien onderdelen heeft weer een betrouwbaarheid van 90%
         
  c. Bereken de betrouwbaarheid van dit laatste systeem.
9. examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2002.

Memory is een spel dat je speelt met kaarten. Op iedere kaart staat een plaatje. Elk plaatje komt twee keer voor. Bij het begin van het spel liggen de kaarten op tafel met de plaatjes naar beneden. Als je aan de beurt bent mag je twee kaarten omdraaien. Zijn de plaatjes hetzelfde, dan pak je de twee kaarten weg en mag je nog een keer. Zijn de plaatjes verschillend dan leg je de kaarten weer met de plaatjes naar beneden op hun plaats en is de volgende speler aan de beurt. Wie de meeste kaarten verzamelt wint het spel.

Peter en Anneke spelen Memory met 16 kaarten, dus met 8 verschillende plaatjes. 
Peter is als eerste aan de beurt en draait twee kaarten om.
       
  a. Toon aan dat de kans op twee kaarten met dezelfde plaatjes gelijk is aan 1/15.
       
  In de rest van deze opgave spelen Rianne en Widolf het spel met acht kaarten. De plaatjes zijn: 2 vierkanten, 2 cirkels, 2 driehoeken en 2 rechthoeken.

Rianne mag beginnen.
       
  b. Bereken de kans dat zij in haar beurt alle kaarten wegpakt.
       
  Rianne draait in haar eerste beurt de beide kaarten met de rechthoeken om. Die twee kaarten zijn dus voor haar. Ze blijft aan de beurt en draait een kaart om met een vierkant en een met een cirkel. Zie volgende figuur..
       
 

       
  Rianne en Widolf weten welke plaatjes er staan op de vier kaarten die nog niet zijn omgedraaid. Maar ze weten niet op welke plaats welk plaatje ligt. Er zijn immers nog heel wat mogelijkheden om deze plaatjes op vier plaatsen te rangschikken.
       
  c. Bereken hoeveel verschillende mogelijkheden er zijn.
       
  Tijdens het spel is de volgende situatie ontstaan. Er liggen nog vier kaarten op tafel en Widolf is aan de beurt. Hij weet dat op de tweede kaart een vierkant staat. Zie onderstaande figuur. Op de andere drie kaarten staan nog een vierkant en twee keer een driehoek.
       
 

       
  Widolf wil de laatste twee paren kaarten in één beurt pakken. Hij heeft dan twee mogelijke strategieën:
  • strategie 1: hij draait eerst de kaart om waarvan hij weet dat er een vierkant op staat.
  • strategie 2: hij draait eerst een van de andere drie kaarten om.
       
 

Strategie 2 is de slimste aanpak, omdat Widolf daarmee de grootste kans heeft om zijn doel te bereiken
       
  d. Toon dit aan door voor beide strategieën de kans op succes te berekenen.
       
10. examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2005.
       
  De pakkans bij zwartrijden hangt af van de wijze waarop wordt gecontroleerd en ook van de plaats die de reiziger in de trein kiest. Neem aan dat een trein uit zes even grote rijtuigen bestaat: W1-W2-W3-W4-W5-W6 (zie onderstaande figuur).
       
 

       
  De conducteur controleert op elke rit twee aangrenzende rijtuigen: hij stapt in een willekeurig rijtuig, bijvoorbeeld W5, en controleert dit volledig. Daarna controleert hij een aangrenzend rijtuig. Hij kan in dit voorbeeld dus kiezen uit twee rijtuigen: W4 of W6. Wanneer de conducteur als eerste rijtuig echter W6 had gekozen om te controleren, dan zal hij als tweede rijtuig W5 controleren. In dat geval hoeft hij niet te kiezen.

Bereken de kans dat tijdens een rit het rijtuig W5 wordt gecontroleerd.
     

5/12
       
11.

Het theorie-examen voor het halen van een rijbewijs bestaat uit 50 vragen. Een kandidaat is geslaagd voor het theorie-examen als ten minste 45 vragen goed worden beantwoord.

Herman Spiering doet een theorie-examen dat bestaat uit 40 ja/nee-vragen en 7 driekeuzevragen en 3 open vragen. Hij weet alleen het goede antwoord van 36 ja/nee-vragen en 6 driekeuzevragen. De 3 open vragen heeft hij in ieder geval fout. Van de resterende vragen moet Herman het antwoord gokken. Herman kan nog slagen voor dit examen. Dan moet hij ten minste drie van de vier resterende ja/nee-vragen goed gokken of hij moet twee van de vier resterende ja/nee-vragen én de resterende driekeuzevraag goed gokken.
     
  a. Bereken de kans dat Herman zal slagen voor dit theorie-examen. Geef je antwoord in 2 decimalen nauwkeurig.
     

0,44
 

Als je slaagt voor het theorie-examen mag je praktijkexamen doen. Als je zakt voor je praktijkexamen, kun je enige maanden later opnieuw praktijkexamen doen. Sommige kandidaten zakken meerdere keren voor het praktijkexamen. Uit de gegevens van het CBR blijkt dat een kandidaat steeds dezelfde kans heeft om te slagen voor het praktijkexamen. Hierbij speelt het dus geen rol of die kandidaat voor de eerste keer examen doet of al één of meer keren gezakt is. Verder blijkt dat 11% van alle kandidaten na 4 keer nog steeds niet is geslaagd voor het praktijkexamen.
Op basis van deze gegevens kun je nu berekenen hoe groot de kans is dat iemand de eerste keer al slaagt voor het praktijkexamen.
       
  b. Bereken deze kans. Geef je antwoord in 2 decimalen nauwkeurig.
     

0,42
12. examenvraagstuk HAVO Wiskunde A, 2013.

In Engeland wordt iemand die de leeftijd van 100 jaar bereikt, aangeduid met de titel centenarian. De kans om centenarian te worden is echter niet erg groot, ook niet als je al 90 jaar bent. Van degenen die toch de leeftijd van 100 jaar bereiken, worden sommigen zelfs supercentenarian: zij bereiken de leeftijd van110 jaar.

Uit onderzoek zijn de volgende gegevens bekend:
De kans dat een 90-jarige man 95 jaar wordt, is 0,27.
De kans dat een 95-jarige man 100 jaar wordt, is 0,13.
De kans dat een 100-jarige man 105 jaar wordt, is 0,11.
De kans dat een 105-jarige man 110 jaar wordt, is 0,09.
       
  a. Bereken de kans dat een 90-jarige man supercentenarian wordt.
     

0,00034749
  b. Bereken de kans dat een 100-jarige man geen supercentenarian wordt.
     

0,9901
       
13. Persoon A gooit met 1 dobbelsteen
Persoon B gooit met 2 dobbelstenen
Hoe groot is de kans dat B precies het dubbele van A gooit?
     

1/12
14. Persoon A gooit met 1 dobbelsteen
Persoon B gooit met 2 dobbelstenen
Hoe groot is de kans dat ze beiden 3 gooien?
     

1/108
       
15. examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 2014.

De investeerder Warren Buffett houdt van dobbelspelletjes met ongebruikelijke dobbelstenen. Hij daagt Bill Gates, de oprichter van Microsoft, uit voor een spelletje waarbij ze allebei een dobbelsteen mogen werpen. Degene met het hoogste ogenaantal wint.
Ze gebruiken drie dobbelstenen: een blauwe, een groene en een rode. De ogenaantallen staan in de volgende tabel.
       
 
blauw  3 3 3 3 3 6
groen  2 2 2 5 5 5
rood  1 4 4 4 4 4
       
  a. Warren laat Bill als eerste een dobbelsteen kiezen, en nadat Bill de blauwe pakt, kiest Warren de rode dobbelsteen. Bereken de kans dat Warren wint.
     

25/36
  Even later spelen Warren en Bill weer tegen elkaar, maar de spelregels zijn veranderd. Er zijn nu twee blauwe, twee groene en twee rode dobbelstenen. Warren kiest twee dobbelstenen van gelijke kleur, waarna Bill twee andere dobbelstenen van gelijke kleur moet kiezen. De winnaar is degene met de hoogste som van zijn ogenaantallen.
Warren begint. Hij kiest de twee rode dobbelstenen. De kansverdeling voor de som van zijn ogenaantallen staat in de volgende tabel.
 
som 2 5 8
kans 1/36 10/36 25/36
       
  b. Bill kiest de twee groene dobbelstenen. Bereken de kans dat Bill wint.
     

59/144
       
16. Examenvraagstuk  HAVO wiskunde A, 1990.

Vogeldeskundigen willen weten welke vogelsoorten er in een bepaald gebied leven. Een eenvoudige manier om daar achter te komen is het maken van een ronde door dat gebied en alle waargenomen vogels te registreren. Men spreekt van een registratie-effectiviteit van 100% als alle aanwezige vogels worden opgemerkt. In praktijk blijkt de registratie-effectiviteit per ronde slechts 60% te zijn, de overige 40% van de totale vogelpopulatie wordt niet opgemerkt.
De Zweedse vogeldeskundige Anders Enemar stelt dat de registratie-effectiviteit door het maken van drie ronden zodanig verhoogd wordt dat men vrijwel zeker mag aannemen dat alle vogelsoorten zijn opgemerkt.
Hij neemt daarbij aan dat iedere aanwezige vogel bij elke ronde 60% kans heeft om opgemerkt te worden.
       
  a. Bereken hoeveel procent van de totale populatie naar verwachting na drie ronden nog niet zal zijn opgemerkt.
     

6,4%
  Na drie ronden is de vogelpopulatie verdeeld in vier categorieën:  I, II, III, IV:
    I:  niet opgemerkt
II: één keer opgemerkt
III: twee keer opgemerkt
IV: drie keer opgemerkt.		  
       
  b. Welke van die vier categorieën zal naar verwachting de meest exemplaren bevatten? Licht je antwoord toe met een berekening.
     

III: 0,432
  c. Stel dat er bij iedere ronde ongeveer 450 vogels worden opgemerkt. Bereken hoeveel vogels dan bij de derde ronde naar verwachting voor het eerst opgemerkt zullen worden.
     

43 à 44
       
17. Tegenwoordig zie je vaak Quick Responsecodes, ofwel QR-codes. Door zo'n QR-code met je mobiele telefoon te 'lezen' krijg je informatie over een bepaald product of word je doorgeschakeld naar een website.

Een QR-code moet natuurlijk wel goed 'gelezen' kunnen worden. Soms is dat moeilijk doordat hij beschadigd is, bijvoorbeeld door een kras of een vlekje. Om ervoor te zorgen dat hij toch goed te lezen is, worden er hokjes gebruikt om mogelijke leesfouten te corrigeren.
 

  Bij de beschadigingen  onderscheidt men de categorieën:    niet  -  zeer licht -  licht  -  zwaar
De kansen dat deze categorieën nog te lezen zijn, zijn achtereenvolgens  1 - 0,60 - 0,35 - 0.

De kans dat een QR-code tijdens een transport zeer licht beschadigd wordt is 0,15. De kans op lichte beschadiging is 0,08 en de kans op zware beschadiging is  0,05.

Hoe groot is de kans dat een willekeurige QR-code na transport nog te lezen is?
     

0,838
18. examenvraagstuk VWO wiskunde C, 2016-II.
       
  Halli Galli is een kaartspel. Bij het spel worden 56 kaarten gebruikt waarop vruchten afgebeeld zijn. Er zijn vier soorten vruchten: banaan, aardbei, citroen en pruim. Er zijn veertien bananenkaarten met diverse aantallen bananen. Die zie je in de tabel. De andere drie soorten vruchten hebben dezelfde verdeling van kaarten.
       
 
kaart met 1 banaan 2 bananen 3 bananen 4 bananen 5 bananen
aantal kaarten 5 3 3 2 1
       
  In deze opgave wordt het spel gespeeld met twee spelers, A en B.
Het spel kaarten wordt goed geschud. Vervolgens krijgt eerst speler A 28 kaarten. Daarna krijgt speler B de overige kaarten.
       
  a. Bereken de kans dat de eerste vier kaarten van speler A allemaal bananenkaarten zijn.
     

0,0027
  In werkelijkheid ziet de speler zijn kaarten niet: de speler legt ze dicht (dat wil zeggen: met de afbeelding naar beneden) voor zich neer op een stapel.
Het spel gaat dan als volgt: beide spelers pakken tegelijk de bovenste kaart van hun dichte stapel en leggen die op hun open stapel. Zie foto.
       
 

       
 

In het midden staat een bel. Zodra er van een vruchtensoort precies 5 vruchten op de twee open kaarten samen zichtbaar zijn, slaat iedere speler zo snel mogelijk op de bel. Zie bijvoorbeeld de situatie op de foto.
Of er dan ook nog andere vruchten met andere aantallen te zien zijn, is daarbij niet van belang. Dus ook bij, bijvoorbeeld, het zichtbaar zijn van een kaart met 5 citroenen en een andere kaart met 2 pruimen moet er op de bel geslagen worden.
De speler die het eerst op de bel slaat, krijgt de open stapel van zijn tegenstander. Deze legt hij met de afbeelding naar beneden onder zijn eigen dichte stapel. Het doel van het spel is om zo alle kaarten te winnen.

Bij het begin van het spel heeft iedere speler een dichte stapel van 28 kaarten voor zich. Beide spelers draaien hun eerste kaart om. Omdat de kaarten willekeurig verdeeld zijn, mag je voor het berekenen van de kansen uitgaan van één goed geschudde stapel van 56 kaarten waarvan je de twee bovenste omdraait. Je ziet dan een aantal vruchten.
       
  b. Bereken de kans dat daar precies 5 pruimen bij zijn.
     

0,0396
       
19. examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 2017-I.
       
 

Kleurentorentjes is een spel voor kleine kinderen. Bij dit spel horen vier setjes van zes kralen in zes verschillende kleuren, namelijk blauw, groen, rood, oranje, geel en wit. Ook hoort bij dit spel een dobbelsteen met op elk zijvlak een van de genoemde kleuren.

Elke speler krijgt een setje kralen en een staafje. Zie de figuur.

 
  In de spelregels staat dat elke speler met behulp van de dobbelsteen zijn torentje moet opbouwen in de volgorde die in de figuur hiernaast is aangegeven. De spelers gooien om en om met de dobbelsteen. Als een speler de kleur gooit die volgens figuur hiernaast  aan de beurt is, dan mag hij de kraal met die kleur op zijn staafje plaatsen, waarna zijn beurt voorbij is.
Als hij een andere kleur gooit, dan mag hij geen kraal plaatsen en is zijn beurt meteen voorbij. Wie het eerst zijn torentje heeft opgebouwd, is de winnaar.

Chris gaat het spel met zijn oma spelen. Hij weet dat hij eerst blauw moet gooien, omdat dat de onderste kleur is in de figuur.
       
  a. Bereken de kans dat Chris, nadat hij drie keer aan de beurt is geweest, nog steeds geen blauw heeft gegooid.
     

125/216
  Als oma drie keer aan de beurt is geweest, kan ze óf geen kralen op haar staafje hebben óf één (een blauwe) óf twee (een blauwe en een groene) óf drie (een blauwe, een groene en een rode).
       
  b. Bereken de kans dat de groene kraal op het staafje van oma zit, nadat zij drie keer aan de beurt is geweest.
     

2/27
  Chris en zijn oma vinden de spelregels maar streng. Ze besluiten om de spelregels aan te passen en spreken af dat de volgorde van de kleuren niet uitmaakt. Er moet wel een torentje van zes kralen gemaakt worden dat alle zes kleuren bevat en een kraal mag pas geplaatst worden als de betreffende kleur met de dobbelsteen is gegooid.
Ze beginnen ieder weer met een leeg staafje.
       
  c. Bereken de kans dat Chris, nadat hij drie keer aan de beurt is geweest, drie kralen op zijn staafje heeft.
     

5/9
  Het spel gaat door, met de gewijzigde spelregels. Op een bepaald moment heeft oma 1 kraal op haar staafje. Chris is al een stuk verder, want hij mist alleen nog de kleuren geel en blauw op zijn staafje. Je kunt de kans berekenen dat hij nog precies vier beurten nodig heeft om zijn kleurentorentje compleet te maken.
Een van de mogelijkheden is dat hij eerst tweemaal een kleur gooit die hij al op zijn staafje heeft. Daarna gooit hij een van de kleuren geel of blauw en ten slotte gooit hij de nog ontbrekende kleur. Hij mag dus eerst tweemaal niet en vervolgens tweemaal wel een kraal plaatsen. Dit kun je noteren als N-N-W-W.
Zo zijn er meer manieren om na precies vier beurten klaar te zijn.
       
  d. Bereken de kans dat Chris nog precies vier beurten nodig heeft om zijn kleurentorentje compleet te maken.
     

122/1296
20. Kangoeroewedstrijd.

Op een dobbelsteen staan de getallen -3, -2, -1, 0, 1 en 2.
Je gooit twee keer en vermenigvuldigt de uitkomsten.
Wat is de kans dat dit product negatief is?
     

1/3
21. Kangoeroewedstrijd.

A, B, C, D, E, F, G en H zijn (op volgorde) de hoekpunten van een regelmatige achthoek.

Kies willekeurig een van de hoekpunten D, E, F, en G en trek het lijnstuk dat dit punt verbindt met A.

Kies vervolgens weer willekeurig een van dezelfde vier hoekpunten en verbind dit met B.

Wat is de kans dat je de achthoek nu hebt opgedeeld in precies drie gebieden?

     

5/8

 

     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)