© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Gemengde opgaven kansrekening  
 
1. Een goede manier om jezelf van een mooi wiskundecijfer te voorzien is spieken bij iemand die goed is in wiskunde. Een leraar wil graag weten hoeveel er gespiekt wordt, en besluit aan het eind van de toets iedereen te vragen of hij of zij wel of niet gespiekt heeft. Natuurlijk zal niemand “JA” zeggen als hij het zo direct vraagt. Daarom doet hij het volgende: iedereen moet met een muntstuk gooien. Degenen die “kop” gooiden moeten de vraag eerlijk beantwoorden. Degenen die “munt” gooiden moeten verplicht “JA” antwoorden. Zo weet hij na afloop van niemand of hij nou wel of niet gespiekt heeft.
       
  a. Stel dat in de klas 12% spiekt. Hoe groot is dan de kans dat een willekeurige leerling uit deze klas “JA” zal antwoorden?
       
  b. Stel dat van een groep van 88 leerlingen er 52 “JA” antwoorden. Hoeveel leerlingen zullen er dan naar verwachting werkelijk gespiekt hebben?
       
  Bij multiple choice vragen is spieken makkelijker maar ook minder hard nodig: je kunt immers ook gokken?
       
  c. Stel dat iemand 40 vierkeuzevragen moet beantwoorden, maar bij 20 van die vragen geen flauw idee heeft. Hoe groot is dan de kans dat hij door puur te gokken van deze 20 er precies 8 goed zal hebben?
       
  Een test onder 48 leerlingen leverde de volgende tabel:
       
 
  spiekt nooit spiekt wel eens spiekt vaak
jongen 14 10 4
meisje 10 5 5
       
  d. Als je uit deze 20 meisjes er willekeurig 3 kiest, hoe groot is dan de kans dat er precies 2 nooit spieken?
       
  e. Leg uit of de gebeurtenissen “MEISJE” en “SPIEKT NOOIT” afhankelijk of onafhankelijk zijn.
       
  f. Heb je bij deze opgave gespiekt?
   

       
2. examenvraagstuk 1981.
       
  Vijf balletjes worden verdeeld over drie genummerde dozen D1, D2 en D3. Daarbij mogen ten hoogste twee dozen leeg blijven.
       
  a. Eén van de mogelijke verdelingen is: 2 balletjes in D1, 0 balletjes in D2 en 3 balletjes in D3.
Toon aan dat er nog 20 andere verdelingen zijn.
       
  Bovendien is gegeven dat elke mogelijke verdeling van de vijf balletjes over de drie dozen een even grote kans van optreden heeft.
       
  b. Het aantal balletjes Dk is een stochast Xk.
Geef een kansverdeling van X1.
Onderzoek of de gebeurtenis X1 = 2 Ú X1 = 3 en de gebeurtenis X2 = 0 onafhankelijk zijn.
       
  c. Het aantal dozen dat precies n balletjes bevat is een stochast Yn.
Geef de kansverdeling van Y2.
Bereken P(Y2 = 0 \ Y1 = 1).
   
3. Een frisdrankenfabrikant houdt een "doppenactie", waarbij er aan de onderkant van de dop van een aantal flesjes een stickertje zit dat recht geeft op een gratis flesje. De fabrikant zegt in de reclame dat bij 12% van de flesjes zo'n sticker onder de dop zit.
         
  a. Hoe groot is dan de kans dat iemand die 5 flesjes koopt, er méér dan 5 krijgt?
         
  b. Hoe groot is de kans dat iemand die 5 flesjes koopt, er precies zes krijgt? Denk erom dat ook onder de dop van zo'n gratis flesje weer een sticker kan zitten!
         
  Een jongetje klaagt bij een winkelier dat hij nu al drie weken lang al zijn zakgeld aan frisdrankflesjes heeft uitgegeven, en nog steeds geen enkele sticker heeft gekregen. De winkelier zegt dat het jongetje pech heeft, want dat de kans daarop gelijk is aan 1%.
         
  c. Hoeveel flesjes kan het jongetje van één week zakgeld kopen?
         
  De vader van het jongetje belooft hem, om hem te troosten, dat ze samen naar de winkel zullen gaan en in één keer zoveel flesjes gaan kopen dat de kans op minstens één prijs gelijk is aan 99,9%
         
  d. Hoeveel flesjes moet de vader dan gaan kopen?
         
  De vader bedenkt daarna dat het handiger is om één voor één flesjes te kopen en te stoppen zodra er een prijs is.
         
  e. Hoeveel flesjes zal de vader nu naar verwachting moeten kopen?
         
4. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2003

Bij de introductie van een nieuw biermerk organiseert de fabrikant een reclameactie. Op de binnenkant van elke kroonkurk laat hij een letter van het alfabet afdrukken. Alle 26 letters van het alfabet worden in gelijke hoeveelheden afgedrukt. De bierflesjes worden willekeurig over de bierkratten verdeeld.
Wie een kroonkurk met de letter P inlevert krijgt een gratis flesje bier van dit merk.
Een klant drinkt elke dag één flesje bier van het nieuwe merk.
       
  a. Bereken hoeveel flesjes bier hij moet drinken om tien gratis flesjes te kunnen verwachten.
       
  b. Bereken de kans dat hij op de derde dag voor het eerst een kroonkurk met de letter P heeft. Rond je antwoord af op drie decimalen.
       
  c. Bereken de kans dat hij bij de eerste tien flesjes minstens één letter P heeft. Rond je antwoord af op drie decimalen.
       
  d. Bereken de kans dat hij met de letters van de eerste vier kroonkurken het woord 'PILS'  kan vormen. Geef je antwoord in procenten. Rond af op vier decimalen.
       
5. Examenvraagstuk HAVO, Wiskunde B, 2007.

Het spel ‘Biggen’ wordt gespeeld met twee ‘dobbelstenen’ in de vorm van kleine plastic varkentjes. De spelers werpen met deze dobbelstenen, biggen genaamd. Hoeveel punten een speler krijgt, hangt af van hoe deze biggen terecht komen. Doel van het spel is zo veel mogelijk punten te scoren. Wie het eerst 100 punten of meer heeft, wint.

Een big kan op zes verschillende manieren terecht komen: op zijn linkerzij, op zijn rechterzij, rechtop op zijn poten, op zijn rug, op zijn snuit of op zijn wang. (Zie de foto’s.) De big is niet volledig symmetrisch. Zo is de kans dat de big op zijn linkerzij terecht komt niet gelijk aan de kans dat hij op zijn rechterzij terecht komt. Bovendien kan de big niet op zijn rechterwang blijven liggen, maar wel op zijn linkerwang. Daarom duiden we deze situatie simpelweg aan met wang.
       
 
       
  In de volgende tabel zijn de kansen voor de verschillende worpen met één big en de punten die daarbij horen gegeven.
       
 
big valt op linkerzij rechterzij poten rug snuit wang
kans 0,29 0,35 0,08 0,23 0,04 0,01
punten 0 0 5 5 10 15
       
  Uit deze tabel blijkt dat bij 50 worpen met één big de big naar verwachting vier keer (50×0,08) op zijn poten terecht komt. In de praktijk is het natuurlijk wel mogelijk dat de big acht keer of vaker op zijn poten terecht komt.
       
  a. Bereken de kans dat een big bij 50 worpen acht keer of vaker op zijn poten terecht komt.
       
  Bij een worp met twee biggen worden de punten van de twee biggen opgeteld. Dit geldt echter niet wanneer bij een worp beide biggen op exact dezelfde manier terecht zijn gekomen. Dan krijg je namelijk meer punten. Zie onderstaande tabel.
       
 
beide biggen
vallen op		 linkerzij rechterzij poten rug snuit wang
punten 1 1 20 20 40 60
       
  Zolang een speler doorgaat met gooien, worden de punten van zijn worpen bij elkaar opgeteld. Als hij vrijwillig stopt, worden zijn punten genoteerd en is de volgende speler aan de beurt.
Het doorgaan met gooien heeft echter ook een risico: als bij een worp één big op zijn linkerzij valt én de andere big op zijn rechterzij, moet de speler stoppen en is hij alle punten van deze beurt kwijt. De kans dat dit gebeurt, is afgerond op 2 decimalen 0,20.
       
  b. Toon dit met een berekening aan.
       
  c. Bereken de kans dat een speler drie keer achter elkaar kan gooien zonder dat hij zijn punten kwijt raakt.
       
  Twee spelers spelen het spel. Op een gegeven moment heeft een van de spelers 98 punten. Hij is aan de beurt. Hij wil graag weten hoe groot de kans is dat hij het spel zal winnen in deze beurt. Je mag er daarbij van uitgaan dat zodra de speler 100 punten of meer heeft gehaald, hij zal stoppen met gooien omdat hij dan al heeft gewonnen. Je mag er ook van uitgaan dat wanneer de speler in zijn eerste worp 1 punt haalt, hij zal doorgaan met gooien.
       
  d. Bereken de kans dat deze speler in deze beurt het spel wint.
   
6. Een fabrikant van serviezen produceert borden, die op grond van eventuele kleine productiefoutjes in drie kwaliteitsklassen X, Y en Z worden ingedeeld.
De volgende tabel geeft de aantallen van de verschillende soorten borden en de bijbehorende prijs van een bord.
       
 
klasse A B C
aantal 50% 30% 20%
prijs €4,- €2,- €1,-
       
  a. Bereken de kans dat drie willekeurig gekozen borden tot drie verschillende klassen behoren.
       
  b. Bereken de kans dat drie willekeurig gekozen borden samen minder dan €10,- zullen kosten
       
  c. Hoeveel zul je gemiddeld voor een willekeurig gekozen bord moeten betalen?
       
  d. Hoe groot is de kans dat een partij van 100 borden minstens 25 borden van klasse C zal hebben?
   
7. Examenvraagstuk VWO, Wiskunde B, 2006.

Een spelprogramma op televisie telt bij aanvang 16 deelnemers. Het spel wordt gespeeld in vier rondes. In elke ronde nemen de spelers het in een spelletje van één-tegen-één tegen elkaar op. Van elk tweetal gaat de winnaar door naar de volgende ronde; de verliezer doet niet meer mee. In elke ronde wordt het aantal deelnemers dus gehalveerd; men spreekt van een knock-out-systeem.
De spelletjes zijn van zodanige aard dat de uitslag volledig bepaald wordt door het toeval. Bij elk spelletje hebben beide spelers dus kans 1/2 om te winnen.
Vooraf wordt een speelschema opgesteld; zie de volgende figuur.
       
 

       
  Elke deelnemer krijgt door loting een nummer. Dit nummer is zijn plaats in het schema. Boven in het schema zie je wie tegen wie speelt in de eerste ronde. Na de eerste ronde zijn er nog acht spelers over. De winnaar van de spelers 1 en 2 speelt in de tweede ronde tegen de winnaar van de spelers 3 en 4, enzovoort. In de vierde ronde wordt de finale gespeeld door de twee overgebleven deelnemers.

Er nemen 8 mannen en 8 vrouwen aan het spelprogramma deel.
       
  a. Bereken de kans dat de nummers 1 tot en met 4 worden gegeven aan drie mannen en een vrouw.
       
  b. Bereken de kans dat speler 1 de finale speelt tegen speler 16 en speler 1 deze finale wint.
       
  c. Elke deelnemer speelt 1, 2, 3 of 4 rondes.
Bereken de verwachtingswaarde van het aantal rondes dat een deelnemer speelt.
       
  In een jaar is het spelprogramma 52 keer op televisie geweest. Elke keer hebben er evenveel mannen als vrouwen meegedaan. Er is enige twijfel of elke deelnemer wel evenveel kans heeft om het spelprogramma te winnen. Misschien hebben vrouwen meer kans.
Daarom wordt het aantal keren geteld dat een vrouw het spelprogramma won. Daarna berekent men de kans op dat aantal of een hoger aantal, aangenomen dat alle deelnemers evenveel kans hebben om het spelprogramma te winnen. Het aantal wordt abnormaal hoog gevonden als deze kans kleiner is dan 5%.
       
  d. Bereken welke aantallen vrouwelijke winnaars abnormaal hoog worden gevonden.
   
8. examenvraagstuk VWO, 1982
       
  In een vaas V bevinden zich twee rode, drie gele en vijf blauwe knikkers.
       
  a, Men neemt aselect een greep van drie knikkers uit V.
Bewijs dat de kans dat in deze greep alle drie de kleuren voorkomen gelijk is aan 1/4.
Bereken de kans dat in deze greep precies één kleur niet voorkomt.
       
  b. Men neemt aselect en met terugleggen vijftig maal een greep van drie knikkers uit V.
Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat daarbij ten hoogste dertig grepen zijn waarin niet alle kleuren rood, geel en blauw voorkomen.
       
  c. Men trekt aselect en zonder terugleggen telkens één knikker uit V totdat men voor de tweede maal een rode knikker heeft verkregen. Het aantal trekkingen is een stochast R
Stel de kansverdeling van R op.
   

9. Een fruitautomaat bestaat uit drie onafhankelijk van elkaar draaiende schijven met daarop fruitsymbolen getekend. We bekijken in deze opgave een klein fruitautomaatje met kers, peer, citroen en tomaat. Op elke schijf staan zes van deze symbolen. In de figuur hiernaast zie je hoe de symbolen over de schijven zijn verdeeld. Op de eerste schijf staat bijvoorbeeld 3 keer kers, 2 keer peer en 1 keer citroen.
Door de schijven te laten draaien en dan te stoppen komen er drie willekeurige symbolen voor het venster te staan, van elke schijf één. In de figuur zie je voor het venster peer - kers - citroen staan. 
     
  a. Bereken de kans dat bij drie keer draaien de eerste schijf steeds peer geeft.
     
  Er zijn drie manieren om geld te winnen. De uitbetaling staat in de tabel hiernaast (de bedragen zijn in euro's). De kans op elke uitbetaling staat ook aangegeven.

     
  b. Bereken de drie kansen uit de tabel exact.
     
  c. Bereken de kans dat iemand die twee keer speelt in totaal 25 euro krijgt.
       
  d. Hoeveel verwacht je gemiddeld per keer spelen te krijgen?