© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
De kettingregel.
Het leven is niet eerlijk!

Je hebt net allemaal regels om de afgeleide te maken geleerd en geoefend.
Dus je weet blindelings de afgeleides van √x en  4x3  en  2/x en  ....  noem maar op te geven.  Geen enkel probleem!
Maar wat gebeurt er?
Staat daar opeens geen x maar iets anders met x!!!!!

BAH!

Dus er staat bijvoorbeeld niet  √x  maar bijvoorbeeld  √(2x + 4)  of  √(x2 - 8x)  of  √(x3 + 2x + 1) of .......
in het algemeen:  √[     ]  waarbij dat blokje één of andere formule met x is.
Het komt er eigenlijk op neer dat een andere functie je vóór is geweest!
Zit je net klaar om lekker op je gemak de afgeleide van √x te gaan maken, maakt een andere functie eerst  gauw van die x een [2x + 4]  of  [x2 - 8x] of  [    ] noem maar op.
Eigenlijk is de functie die je wilt differentiëren nu ineens het resultaat van twee functies na elkaar geworden.
Dat zie je hiernaast. De functie y = √(2x - 4) bestaat eigenlijk uit eerst
y = 2x - 4  en daarna  y = √x aan elkaar geschakeld.
Zo'n geschakelde functie heet daarom een KETTINGFUNCTIE.

Die laatste functie is eigenlijk degene die je wilde differentiëren (√x), maar die eerste heeft eerst x veranderd. Die is dat vervelende blokje [   ], die ervoor zorgt dat je niet f(x) moet differentiëren maar f([    ])

EN NU?? Volgende som dan maar???

Hoe het moet valt misschien met een voorbeeld te beredeneren.

Stel dat het aantal konijnen (A) in een bos in de loop van de tijd groeit volgens de formule  A(t) = 100 + 0,2t2  + 2t   (t in maanden).  Als dat bos in totaal 200 km2 groot is, dan is de leefruimte L van een konijn (dat is hoeveel een konijn gemiddeld aan ruimte heeft) afhankelijk van het aantal konijnen volgens L(A)  =  200/A .
Deze leefruimte kun je dan natuurlijk ook als functie van de tijd opschrijven:
Neem t = 10. Dan is  A(10) = 140  en  L(10) ≈ 1,43.
De ketting werkt als in de figuur hiernaast en je moet L(t) eigenlijk lezen als L([  ]). Als we willen bekijken hoe snel de leefruimte afneemt als functie van de tijd, dan moeten we de afgeleide L'(t) berekenen.
 
Laten we de afgeleide gaan uitrekenen. De formule is voorlopig te moeilijk om te differentiëren, dus we vallen terug op onze grote vriend de TI-84. Voer de formule voor L(t) in bij Y1 in je grafische rekenmachine en gebruik calc - dy/dx en dan x = 10 om de helling te berekenen. Daar komt uit  L'(10) = -0,0612, en dat betekent dus dat de leefruimte per konijn na 10 maanden aan het afnemen is met 0,0612 km2  per maand.

Wat heeft dat met A(t) te maken? En met L(A)?

Laten we ook de hellingen van L(A) en A(t) berekenen bij t = 10. Misschien schiet ons iets te binnen. Je weet maar nooit.
Die hellingen kunnen we wel algebraïsch:
L(A) = 200/A = 200 • A-1  dus  L'(A) = -200 • A-2  dus  L'(140) = -0,0102.
A'(t) = 2 • 0,2t + 2  = 0,4t + 2  dus  A'(10) = 6.

Prijsvraag:  wat hebben  L'(t) = -0,0612 en  L'(A) = -0,0102  en  A'(t) = 6   met elkaar te maken?
Je hoeft geen Einstein te zijn om dat te zien, denk ik.
Het lijkt erop dat geldt:
L'(t) = L'(A) • A'(t)

Is dat logisch?
Ik vind van wel, immers:
Als de  leefruimte afneemt met 0,0102 km2 per konijn en tegelijkertijd neemt het aantal konijnen toe met 6 per maand, dan zal in een maand elk van die zes konijnen zorgen voor een afname in de leefruimte van 0,0102, dus in totaal zal L dan in die maand afnemen met  6 • 0,0102 = 0,0612.

Dat leidt dan eindelijk tot de kettingregel:

Als je een differentieerregel (die je hebt geleerd voor x) wilt gebruiken,
maar in plaats van x staat er één of ander blokje (formuletje),
dan pas je die differentieerregel gewoon toe op dat blokje,
maar dan moet je daarna vermenigvuldigen met de afgeleide van dat blokje.

ofwel:

 
Voorbeelden van de regel in  werking:
 
Voorbeeld 1.     f(x) = √(4x - 5)
Het blokje is hier  (4x - 5)  dus de afgeleide van het blokje is 4.
De afgeleide van √x is 1/2√x  dus √[   ] geeft  1/2√[  ]
Dat geeft dus samen  f '(x) = 1/2√(4x - 5) • 4   en dat is  het zelfde als  2/√(4x - 5)
 
Voorbeeld 2.    f(x) = (6 - 3x)5
Het blokje is hier  (6 - 3x)   dus de afgeleide van het blokje is  -3.
De afgeleide van x5 is  5x4  dus   [  ]5  geeft  5 • [   ]4 
Dat geeft dus samen  f '(x) = 5(6 - 3x)4 • -3   en dat is het zelfde als  -15 • (6 - 3x)4
 
Voorbeeld 3.   f(x) =  2/(x² + x)
Het blokje is hier  (x2 + x)  dus de afgeleide van het blokje is  2x + 1
De afgeleide van  2/x  is  -2/x²   dus  2/[  ]   geeft  -2/[  ]² 
Dat geeft dus samen  f '(x) =  -2/(x² + x)² • (2x + 1)
 
 
 
  OPGAVEN
1. Geef de afgeleide van de volgende functies:
           
a. y = 4√(5x + 2x2)   e. y = 2(x2 + 4x - 2)4 
           
b. f(x) = (3x2 - x)4    f. y =  1/(2x² - 3x) + 6x3
           
c. f(x) = 4/(3x + 6)³   g. f(x) = 8 - (2 - x)3 
           
d. y = (4x - 1) • √(4x - 1)   h. f(x) = √(6 - 2√x))
2. Gegeven is de functie  f(x) = (3x - x3)2
Geef een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van  f  in het punt waarvoor x = 2.
3. De functie f is gegeven door f (x) = √(8 - 2x).
De lijn k heeft als vergelijking y = -1/4x + b.
Voor een bepaalde waarde van b raakt lijn k de grafiek van f. In  de volgende figuur zijn deze lijn k en de grafiek van f te zien.
       
 

       
  Bereken met behulp van differentiëren deze waarde van b
     
4. De loopruimte in een drukke winkelstraat is gedefinieerd als de gemiddelde oppervlakte die iedere wandelaar tot zijn beschikking heeft. Deze loopruimte is omgekeerd evenredig met hat aantal mensen in de straat.
Er geldt  L =  A/n
Daarin is L de gemiddelde loopruimte  (in m2), n het aantal mensen en A de oppervlakte van de straat (ook in m2).
Hieronder staat de grafiek van het aantal mensen in de Herestraat in Groningen op een bepaalde winkeldag dag tussen 8:00 en 22:00.
De Herestraat heeft een breedte van 11 meter en een lengte van 560 meter.

a. Op t = 13:00 geldt  n = 1561 en n ' = 316.  Bereken L ' voor t = 13:00.
     
b. Op t = 19:00 geldt  L = 7,7  en  L ' = 3,8.  Bereken  n' voor t = 19:00.
       
       
5. Iemand laat een opgeblazen ballon langzaam leeglopen.
Neem aan dat de leeglopende ballon op elk moment de vorm van een bol met straal r heeft.
De inhoud van een bol is  4/3 × πr3

Op een bepaald moment is de straal van de ballon 12 cm en op dat moment neemt de straal af met 0,2 cm per seconde.

Hoe snel stroomt de lucht op dag moment uit de ballon?

       
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)