Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Limieten door elkaar

We hebben nu zo'n beetje alles wat je over limieten en asymptoten moet weten wel besproken. Deze les gaan we daarom de dingen door elkaar gooien en met elkaar combineren tot nieuwe grafieken met nieuwe eigenschappen.

Voordat dat combineren gaat beginnen wil ik eerst even de basisbegrippen en grafieken die je hoort te kennen nog even langslopen.
Je hoeft eigenlijk alle tekst helemaal niet te lezen; bekijk gewoon de grafieken maar.

1. Exponentiele functies. f(x) = g^x

· Het domein is alles
· Voor 0 < g < 1 is er een horizontale asymptoot als x naar ¥ gaat
· Voor g > 1 (dus ook voor e^x) is er een horizontale asymptoot als x naar -¥ gaat

Dat ziet er zó uit:

2. Logaritmische functies. f(x) = ^glog(x)

· Het domein is x > 0
· Voor 0 < g < 1 gaat f(x) naar ¥ als x van de rechterkant naar 0 gaat
· Voor g > 1 gaat f(x) naar -¥ als x van de rechterkant naar nul gaat.

Als x naar oneindig gaat dan gaat f(x) naar +¥ voor g > 1 en dan gaat f(x) naar -¥ voor 0 < g < 1.

Dat ziet er zó uit:

3. Gebroken functies. f(x) = ^t(x)/_n(x) (met t en n machtsfuncties)

Voor het domein moet gelden dat n ¹ 0

Voor n(x) = 0 kun je een verticale asymptoot hebben of een perforatie

Als x naar ±¥ gaat is er van alles mogelijk, afhankelijk van de vorm van n(x) en t(x)

als de hoogste macht in t(x) gelijk is aan de hoogste macht in n(x) is er meestal een horizontale asymptoot.

als de hoogste macht in t(x) één hoger is dan de hoogste macht in n(x) is er meestal een scheve asymptoot.

4. Tangensfunctie. f(x) = tan(x)

De grafiek heeft periode p
Er zijn verticale asymptoten van x = ¹/₂p + kp
De rechterlimiet in deze punten is +¥ en de linkerlimiet is -¥.

Dat ziet er zó uit:

Laten we eens een voorbeeldje van een combinatie bekijken.

Voorbeeld. Gegeven is de functie f door:

Onderzoek de grafiek van deze functie. Oplossing. We zien hier een combinatie van e^x en van ¹/_x Van de eerste weten we dat er een horizontale asymptoot is voor x naar -¥ Van de tweede weten we dat er een horizontale asymptoot is voor x naar ±¥ en een verticale asymptoot voor x naar 0 We gaan daarom de volgende limieten bekijken:


1.	Als x naar ¥ gaat, dan gaat ¹/_x naar 0 (basiskennis)
	Als ¹/_x naar 0 gaat, dan gaat e^1/x naar e⁰= 1

	Dus de lijn y = 1 is horizontale asymptoot van de grafiek van f (aan de rechterkant)

2.	Als x naar -¥ gaat, dan gaat ¹/_x naar 0 (basiskennis) Dus dan gaat net als hierboven de limiet naar 1.

	Dus de lijn y = 1 is horizontale asymptoot van de grafiek van f, ook aan de linkerkant

3.	Als x naar nul gaat, dan gaat ¹/_x naar ±¥ (basiskennis) Maar het hangt er vanaf vanaf welke kant x naar nul gaat of daar +¥ of -¥ uitkomt. Daarom onderscheiden we twee gevallen:

	3a.	x gaat van de linkerkant naar nul (van de "onderkant") Dan gaat ¹/_x naar -¥ Dan gaat e^1/x naar 0

		Vanaf de linkerkant loopt de grafiek naar (0,0) toe.

	3b.	x gaat van de rechterkant naar nul (van de "bovenkant") Dan gaat ¹/_x naar +¥ Dan gaat e^1/x naar ¥
		Vanaf de rechterkant is de lijn x = 0 (de y-as) een verticale asymptoot


Met deze vier limieten vinden we ongeveer de volgende grafiek:

OPGAVEN

Gegeven is de functie f(x) = ¹/_{(1 + ln(x))}
Onderzoek de grafiek van deze functie.

De functies g_a worden gegeven door:

Geef de asymptoten van de grafiek van g als a = 2

Voor welke a heeft de functie g_a een perforatie bij x = 0?

Gegeven is de functie:

De functie f wordt beschreven door:

Bereken de volgende vier limieten en leg uit wat het resultaat betekent voor de grafiek van f(x):