directe formules


Lineaire recursievergelijkingen.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een lineaire vergelijking is: y = ax + b
Daarom is een lineaire recursievergelijking: u_n = a • u_n_{- 1} + b

Neem als voorbeeld u_n = 0,2u_n_{- 1} + 3 met u₀ = 4
Om een directe formule te maken voor u_n is het vaak handig gewoon eerst eens een aantal termen te gaan opschrijven. Misschien zien je wel een regelmaat.... je weet maar nooit.......

u₀= 4
u₁ = 0,2 • u₀ + 3
u₂ = 0,2 • u₁ + 3 = 0,2 • (0,2 • u₀ + 3) + 3 = 0,2² • u₀ + 0,2 • 3 + 3
u₃ = 0,2 • u₂ + 3 = 0,2 • (0,2² • u₀ + 0,2 • 3 + 3) + 3 = 0,2³ • u₀ + 0,2² • 3 + 0,2 • 3 + 3
u₄ = 0,2 • u₃ + 3 = 0,2 • (0,2³ • u₀ + 0,2² • 3 + 0,2 • 3 + 3) + 3 = 0,2⁴ • u₀ + 0,2³ • 3 + 0,2² • 3 + 0,2 • 3 + 3
....

Voor u_n geeft dat het volgende:

Het laatste deel is een meetkundige rij, van achter naar voren geschreven. De reden is 0,2.
De som van een meetkundige rij kunnen we al berekenen. Voor deze rij geldt:

En daarmee wordt de formule voor de hele rij:

Het dekpunt.

Het dekpunt van een recursievergelijking was de evenwichtswaarde E, weet je nog? Het was de x- of y-waarde van het punt waar in een webgrafiek de lijn y = x de lijn van de recursievergelijking snijdt.
Je kon die waarde vinden door op te lossen u_n = u_n_{- 1} = E.
Let wel: het was een mogelijke evenwichtwaarde. Of dat evenwicht bereikt werd of niet hing meestal af van de recursievergelijking en soms ook van de beginwaarde.

Lineaire recursievergelijkingen hebben hoogstens één dekpunt (immers twee rechte lijnen hebben hoogstens één snijpunt), en dat vind je als volgt:
E = aE + b ⇒ E - aE = b ⇒ E(1 - a) = b ⇒ E = ^b/_{(1 - a)}

u_n = a • u_n_-₁ + b heeft als evenwichtswaarde E = ^b/₍₁_-_a)

Handiger te onthouden.

Met die evenwichtswaarde is de directe formule voor u_n veel eenvoudiger te schrijven, en dus eenvoudiger te onthouden.
Met de a = 0,2 en b = 3 van hierboven vind je:

Nou, daar staat dan weer een vrij eenvoudig te onthouden "woordformule":

u_n = evenwicht + aⁿ • (begin - evenwicht)

Convergeren en Divergeren.

Het feit of een rij van een lineaire recursievergelijking convergeert of divergeert hangt alleen af van a.
Hieronder zie je zes mogelijke gevallen.

Voor a < -1 of a > 1 is de rij divergerend.
Voor -1 < a < 1 is de rij convergerend.
Voor a = -1 is de rij alternerend.
Voor a = 1 is de rij rekenkundig.

(bij divergerend moet eigenlijk staan "i..h.a. divergerend", want als je begint met u₀ = E dan divergeert de rij uiteraard niet).

OPGAVEN

Stel een directe formule op die hoort bij de volgende recursievergelijkingen:

u_n = 0,6 • u_n_{- 1} + 4 met u₀= 50

u_n = 3 • u_n_-1 - 6 met u₀ = 1500

Iemand begint bij een bedrijf te werken voor een salaris van €5000,- Hij heeft echter bedongen dat elk jaar zijn salaris zal worden verhoogd met €200,-
Helaas wordt door de inflatie ons geld elk jaar 1,7% minder waard.....
Als we de waarde van zijn eerste salaris €5000,- stellen, dan is zijn tweede salaris dus 5200 • 0,983 = €5111,60 waard.
Stel een formule op voor de waarde van zijn salaris als functie van de tijd n in jaren,

Als je de lampen van de lantaarnpalen in een stad niet af en toe vervangt door nieuwen, dan zullen er steeds meer lantaarnpalen het niet meer doen. Dat lijkt nogal logisch.

Een gemeente wil weten hoe snel dit proces verloopt en vervangt een aantal maanden geen lampen.
Daardoor neemt het aantal lampen dat het doet inderdaad af.
De eerste vier maanden meet men de volgende aantallen:

maand	0	1	2	3
aantal	12600	10701	9104	7738

Laat zien dat er sprake is van een exponentiële afname. Geef een recursievergelijking voor het aantal werkende lampen L(n) in de gemeente. Geef ook een directe vergelijking en bereken wanneer er nog slechts 10000 werkende lampen zullen zijn als dit zo doorgaat.

De gemeente besluit elke maand een vast aantal kapotte lampen te gaan vervangen. Noem dit aantal a.
Voorlopig neemt men a = 50. Neem aan dat los daarvan de exponentiële afname nog steeds doorgaat met dezelfde factor. De nieuwe lampen worden steeds aan het eind van de maand geïnstalleerd, dus die gaan nog niet dood. De peildatum is steeds de eerste van de maand.

Laat zien dat er bij een beginaantal van 10803 (zoveel zijn er nu) over 4 jaar dan 8985 werkende lampen zullen zijn.
Geef opnieuw een recursievergelijking en een directe vergelijking voor het aantal werkende lampen.
Neem A(0) gelijk aan 10803.

Bepaal op twee verschillende manieren hoeveel werkende lampen er met dit nieuwe systeem uiteindelijk zullen zijn.

Uiteindelijk wil men graag uiteindelijk graag weer 12600 werkende lampen krijgen. Daarvoor zal men het aantal a dus moeten verhogen.

Teken hierin de weblijnen voor de eerste drie maanden dat de gemeente werkte met a = 50.
Bepaal vervolgens met deze grafiek hoe groot de gemeente a moet kiezen om uiteindelijk op 10800 werkende lampen uit te komen.
Teken tenslotte in deze figuur een nieuwe webgrafiek waarin je de volgende drie maanden weergeeft als men deze nieuwe waarde van a gaat gebruiken..

Een werkgever geeft haar personeel elk jaar 250 vakantieuren. Verder heeft zij de regeling dat iedereen van de niet-opgenomen uren in een jaar 70% mee mag nemen naar het volgende jaar.

Jolien is in 2000 begonnen te werken bij deze werkgever. Zij neemt elk jaar 200 uren op. Noem J(n) het aantal vakantieuren dat Jolien heeft in jaar n (met n = 1 in 2000)

Stel een recursievergelijking voor J(n).

Stel een directe vergelijking op voor J(n), en bepaal daarmee hoeveel vakantieuren Jolien in 2020 heeft.

Hoeveel uur had Jolien ongeveer per jaar moeten opnemen als zij in 2000 graag 500 uur zou hebben?

Voor een lineaire recursievergelijking geldt dat u₀ = 200 en u₁ = 240.
Bereken in twee decimalen nauwkeurig u₁₀ als je weet dat de evenwichtswaarde 500 is.