© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Lineaire tabellen en grafieken.
       
De vorige les hadden we het over recht-evenredige verbanden en we zagen dat de formule daarvan is  y = ax.  
Die a konden we berekenen met:

       
De grafiek was in zo'n geval steeds een rechte lijn door de oorsprong, want  bij  x = 0  hoort ook y = 0.

Uitbreiding.

Het zou natuurlijk kunnen dat de y WEL steeds gelijkmatig toeneemt, maar dat de y NIET begint bij 0, maar bij een ander getal.
 
Voorbeeld:
Een ritje in een taxi is vrij duur. Je betaalt direct al een basisbedrag van  €9,10 en daarna voor elke gereden minuut nog weer een vast extra bedrag van €0,65.

Als je nu een formule wilt maken voor de prijs P en het aantal minuten m, dan begint die prijs niet bij €0 maar direct al bij het basisbedrag €9,10. 
Vanaf die beginhoeveelheid van €9,10  gaat de toename wél weer gelijkmatig met €0,65 per minuut  dus daarvoor geldt  P = 0,65 • m 

De totale formule wordt dan    P = 0,65m + 9,10
       
In deze gevallen (dus met zo'n beginhoeveelheid erbij) dan noemen we het geen recht-evenredig verband meer, maar dan heet het een lineair verband.  De algemene formule is dan niet meer y = ax  maar  y = ax + b  waarbij die b de beginhoeveelheid is (9,10 in dit voorbeeld).
       
 

       
De grafiek is nog steeds een rechte lijn, maar die begint nu niet in de oorsprong maar op de
y-as op hoogte b.  

Het getal a is nog steeds de toename van y per x. Dus dat zegt hoe snel de lijn stijgt. Het getal a wordt daarom ook wel het hellinggetal genoemd, of af en toe de richtingscoëfficiënt.
       

       
Nou je dit eenmaal weet kun je een rechte lijn waarvan de formule gegeven is natuurlijk makkelijk binnen 5 seconden tekenen. TOCH???

Stel dat je bijvoorbeeld de lijn y = 0,5x + 3 moet tekenen.
Nou dan begin je bij 3 op de y-as en gaat dan steeds 1 opzij en  0,5 omhoog.
Binnen 5 seconden heb je de lijn hiernaast!

PAS OP!!
Kijk wel even goed uit welk getal a is en welk b. Het is niet zo dat a altijd het eerste getal is en b het tweede. Soms is je leraar in een melige bui en zet hij de formule expres verkeerd om neer!  Ikzelf zou zoiets natuurlijk als leraar NOOIT doen, maar ja, ik ken jouw leraar niet.... misschien is het wel een eikel....
Zo kun je de formule y = 0,5x + 3 natuurlijk net zo goed schrijven als 
y = 3 + 0,5x. Flauw hé?

       
TRAP DAAR NIET IN: 
Blijf vooral cool en relaxed en kijk gewoon steeds welk getal bij x staat:dat is het hellinggetal a, en b is altijd het "losse" getal dat alleen staat.
       

a staat bij x
b staat alleen
       
Afname.

We hebben het tot nu toe steeds gehad over de toename van y en x,  maar het zou natuurlijk ook heel goed kunnen gaan om afname.

Bijvoorbeeld:
Ik ben op een festival, en heb besloten niet meer dan €80 te besteden. Voor de veiligheid heb ik daarom €80 cash in mijn portemonnee gedaan (met een pinpas geef ik ongemerkt vaak veel te veel geld uit).  Elk muntje dat ik koop kost €3,10.
Je ziet dat de beginwaarde nu b = 80 is, maar dat er bij elk muntje (m) €3,10 van afgaat.
Voor de hoeveelheid geld (G) in mijn portemonnee geldt dan:   G = 80 - 3,10 • m
Het is nog steeds een lineaire formule maar nu is a = -3,10.

Voor de berekening van a is het daarom veiliger het niet te hebben over toename van y maar over verschil van y  (het kan immers meer of minder worden).
       

       
Lineaire grafiek.
       
Nou daar valt niet zoveel nieuws over te melden. De grafiek van een lineair verband is een rechte lijn die begint op de y-as bij  (0, b)

Als a negatief is, dan daalt de lijn, als a positief is dan stijgt de lijn.

Voor elke x (dus "per x") neemt de waarde van y met a toe of af. Als je in de grafiek dus een stapje van 1 naar rechts gaat (dan neemt x immers met 1 toe), dan ga je a omhoog (of omlaag)

Hieronder zie je de grafieken van de prijs van een taxirit en van mijn geld op een festival.
       

       
Lineaire tabel.
       
Neem zomaar twee tabellen:
       

TABEL 1
 x 4 8 20 33 40
 y 18,9 29,3 60,5 94,3 112,5
 

TABEL 2
 x 10 16 25 34 49
 y 150 118 125 116 68
       
Eén van beide tabellen hoort bij een lineaire functie, de ander niet.
Kun je ontdekken welke de lineaire is zonder de grafieken te tekenen?

Jazeker kan dat.
Hoe dat moet zie je waarschijnlijk het best door eerst stiekem wél de grafieken te tekenen:
       

       
Het is wel duidelijk: grafiek 1 is lineair (rechte lijn), grafiek 2 niet. Dat zit hem erin dat de hellingen van de gekleurde lijnstukjes in grafiek 1 allemaal gelijk zijn, en die van de gekleurde lijnstukjes in grafiek 2 niet.
Maar die helling werd bepaald door het getal a.
Dus dat kunnen we natuurlijk ook zonder grafiek te tekenen controleren: namelijk door gewoon tussen twee punten steeds a =  Δy/Δx uit te rekenen. Dat is immers de helling van zo'n gekleurd lijntje?

Dat geeft de volgende hellingen:
       

TABEL 1

  

TABEL 2
punt volgend
punt		 helling  a = Δy/Δx
(4, 18.9) (8, 29.3) (29.3 - 18.9)/(8 - 4) = 2,6
(8, 29.3) (20, 60.5) (60.5 - 29.3)/(20 - 8) = 2,6
(20, 60.5) (33, 94.3) (94.3 - 60.5)/(33 - 20) = 2,6
(33, 94.3) (40, 112.5) (112.5 - 94.3)/(40 - 33) = 2,6
 
punt volgend
punt		 helling a = Δy/Δx
(10, 150) (16, 118) (118 - 150)/(16 - 10) = -5,3
(16, 118) (25, 125) (125 - 118)/(25 - 16) = 0,8
(25, 125) (34, 116) (116 - 125)/(34 - 25) = -1,0
(34, 116) (49, 68) (68 - 116)/(49 - 34) = -3,2
       
't Is wel duidelijk: de eerste tabel geeft allemaal dezelfde hellingen dus is de grafiek lineair. De tweede tabel geeft verschillende hellingen dus zal het een grafiek met "knikjes" zijn.
       
 
                                       
  OPGAVEN.
       
1. Onderzoek welk van onderstaande tabellen bij een lineaire formule horen.
Geef van de lineaire tabellen een bijbehorende formule.
       
  a.
x 2,3 5,8 12,1 14,9 20,0 36,2
y 17,8 38,8 76,6 93,4 124,0 221,2
       
  b.
x -6,2 -3,8 4,1 5,0 7,8 13,1
y -17,6 -10,7 13,7 16,2 22,0 40,6
       
  c.
x -4,6 -1,2 3,3 8,1 10,5 12,7
y 43,0 26,0 3,5 -20,5 -32,5 -43,5
       
2. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde A 2022-III

Kanovaren is een Olympische sport. Een van de onderdelen is de vlakwatersprint kajakvaren. Een kajak is een soort kano. Zie de foto.
       
 

       
  Er zijn races voor kajaks met 2 of 4 personen. In de tabel staan enkele winnende tijden (in seconden) die op de Olympische Spelen van 2008 in Peking met kajaks zijn behaald.
Het aantal personen in de boot wordt aangeduid met N.
       
 
  N = 1 N = 2 N = 4
mannen 1000 m 206,323 s 191,809 s 175,714 s
vrouwen 500 m 110,673 s 101,308 s 92,231 s
       
  Monique vraagt zich af of er een lineair verband bestaat tussen de winnende tijd van de vrouwen op de 500 m en het aantal personen in de kajak.

Onderzoek met gegevens uit de tabel of dat verband lineair kan zijn.
       
3. Examenvraagstuk HAVO wiskunde A, 1995

 Bij toetsen met 50 meerkeuzevragen wordt geteld hoeveel vragen een kandidaat goed heeft. Dit aantal noemen we de score X. Hierna wordt de score X omgezet in een cijfer Y. Een kandidaat die niets goed heeft krijgt altijd een 1, dus bij X = 0 hoort Y = 1. Wie alle vragen goed heeft beantwoord krijgt natuurlijk een 10; bij X = 50 hoort Y = 10.

Stel dat er een lineair verband bestaat tussen X en Y. Zie de figuur hiernaast. Voor het gemak is er een lijn getekend in plaats van losse punten. Een kandidaat heeft 35 vragen goed.

Bereken het bijbehorende cijfer X in één decimaal nauwkeurig.

       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)