© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Verbanden vergelijken
Korte herhaling van het lineaire en het exponentiële verband, want dat gaan we in dit hoofdstuk nodig hebben.

1. Lineair.
     

De formule hierbij is  y = ax + b
De grafiek is een rechte lijn.

•  b is het beginpunt (op de y-as)
•  a is het hellinggetal:  bij 1 stap naar rechts gaat de lijn a omhoog.

Als b = 0 gaat de lijn door de oorsprong en dan heet dit ook wel een recht-evenredig verband.

Formule opstellen door twee punten:
 
Voorbeeld:   Geef een vergelijking van de rechte lijn door    (2, 8)  en   (7, 24)

Oplossing:  
a = (24 - 8)/(7 - 2) = 3,2
y = 3,2x + b
8 = 3,2 · 2 + b geeft  b = 1,6
Dus  y = 3,2x + 1,6
 
2.  Exponentieel.
       
De formule is  y = B • gx
De grafiek heeft toenemende stijging (als g > 1) of afnemende daling (als g < 1)

•  B  is het begingetal (op de y-as)
•  g  is de groeifactor.

Voor berekeningen kun je gebruiken dat  ga • gb = ga + b  en  (ga)b = gab
       

       
Formule opstellen door twee punten: Dat is het makkelijkst te snappen met een voorbeeld:
 
Voorbeeld:   Stel de formule op voor het exponentiële verband door  (4, 8)  en  (7, 12)

Oplossing:

De groeifactor is  12/8 = 1,5
Maar dat is in 3 stappen :  (7 - 4)
Dat betekent dat  g3 = 1,5  dus  g = (1,5)1/3 = 1,145   (we werken in drie decimalen nauwkeurig)

De tussenstand is voorlopig de formule   y = B × 1,145x 
Neem bijvoorbeeld het punt  (4, 8).
Dat betekent  x = 4 en y = 8 dus  8 = B • 1,1454
⇒  8 = B × 1,72
⇒  B = 8/1,72 = 4,65

dus de gezochte formule is  y = 4,65 · 1,145x
 
       
 
                                       
  OPGAVEN.
       
1. Iemand warmt in 25 minuten een hoeveelheid water op van 5 °C naar  100 °C.
       
  a. Bereken hoeveel graden het water is na 10 minuten verwarmen als de temperatuut lineair toeneemt.
       
  b. Bereken hoeveel graden het water is na 10 minuten verwarmen als de temperatuur exponentieel toeneemt.
       
2. Examenopgave HAVO Wiskunde A, 2022-I

De CO2-concentratie in de lucht blijft toenemen. In 2000 was het jaargemiddelde 369,5 ppm, in 2015 was dit opgelopen tot 400,8 ppm.

Tibbe vermoedt op basis van de figuur bovenaan deze opgave dat het jaargemiddelde in de periode 2000–2015 groeide volgens een exponentieel verband en dat de groei zich in de jaren daarna voortzet volgens hetzelfde exponentiële verband. Je kunt dan, uitgaande van bovenstaande gegevens, berekenen in welk jaar het jaargemiddelde voor het eerst hoger dan 500 ppm zal zijn.
       
  a. Bereken op deze manier in welk jaar het jaargemiddelde voor het eerst hoger dan 500 ppm zal zijn.
       
  Marrit is het niet eens met Tibbe: zij vermoedt dat er vanaf het jaar 2000 geen sprake is van exponentiële groei, maar van lineaire groei. Je kunt dan, uitgaande van de jaargemiddelden van 2000 en 2015 en met behulp van lineair extrapoleren, berekenen in welk jaar het jaargemiddelde voor het eerst hoger dan 500 ppm zal zijn.
       
  b. Bereken op deze manier in welk jaar het jaargemiddelde voor het eerst hoger dan 500 ppm zal zijn.
       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)