© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
De natuurlijke logaritme.


 
Eerder ontdekten we al dat de afgeleide van gx  gelijk is aan een constante maal gx waarbij die constante van g afhangt. We hebben de constante toen ln(g) genoemd.

f (x) = gx   ⇒    f '(x) = gx • ln g

Deze les gaan we verder op zoek naar de eigenschappen van deze ln(g). Hoe hangt hij nou precies van g af?
Eén ding weten we al wel: Als g gelijk is aan e, dan is deze constante gelijk aan 1, ofwel   ln e = 1.
Door voor een aantal waarden van g de waarde van ln(g) te benaderen kunnen we alvast een idee krijgen van de grafiek van ln(g). Dat geeft deze tabel en de grafiek ernaast.
g 0,3 0,5 2 e 3 4
ln(g) -1,20 -0,69 0,69 1 1,10 1,39

We kunnen ontdekken wat deze ln(g) voorstelt door de afgeleide van eax  op twee manieren op te schrijven:

•  De afgeleide van eax is met de kettingregel
    gelijk aan  a • eax

•  eax = (ea)x 
    dus de afgeleide is (ea)x • ln(ea)
    (dat was immers de regel voor de afgeleide van gx)

Maar die twee moeten natuurlijk wel gelijk zijn!

Dus moet gelden:  ln(ea) = a  en ook graag voor élke a !!!!!!
Die lnx functie zorgt ervoor dat ex  teniet wordt gedaan.
Maar dat betekent dat lnx de functie is die ex opheft......
De inverse ervan.......
Dus moet wel gelden  lnx = elogx
 

ln(x) = elog(x)

Deze ln(x) is dus de logaritme met grondtal e. Hij heet ook wel de natuurlijke logaritme.

Onze mysterieuze constante factor blijkt dus  gewoon een logaritme te zijn; en wel de logaritme met grondtal e.
Dat betekent dat alle rekenregels voor logaritmen en eigenschappen van grafieken van logaritmen ook voor lnx gelden.
Hier zijn ze nog een keer in hun "ln-vorm";
lna + lnb = ln(ab)
lna - lnb = ln(a/b)
p · lna = ln(ap)
   
 
 
  OPGAVEN
1. Los algebraïsch op en rond je antwoord niet af:
       
a. ln(2x) = 4   g. 5 - lne3 = lnx  
           
b. ln(3x + 4) = 2lnx   h. lnx + ln(x - 1)  = ln(2x)  
           
c. ln(x√x) = lnx + 4   i. ex - 2 = 3  
           
d. 5lnx = 3lnx + 4   j. ln(1/x) = 3 + lnex  
           
e. 5 • e2x = 10   k. ln(e4 - 2x) = x + 8  
           
f. elnx = 4x + 6   l. 2e2x + 4 = 6ex   
2. Tussen de grafieken van y = ln(1/x)  en
y = ln(2/x) wordt een rechthoekige driehoek getekend zoals in de figuur hiernaast.

A en B zijn de snijpunten van de lijn y = p met de grafieken. C  ligt op de grafiek van
y = ln(2/x) en hoek ABC is recht.

Bereken voor welke p de oppervlakte van driehoek ABC gelijk is aan 1/6ln2. 

 
3. Gegeven zijn de functies:  f(x) = e-0,5x  en   g(x) = 1 - ex
a. Bereken exact een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van  f  in het punt waarvoor x = -2. Rond de getallen in je antwoord niet af!
 
De horizontale lijn y = p snijdt de grafiek van  f  in punt A en die van g in punt B.
Voor de lengte L van lijnstuk AB blijkt te gelden:   
L  = ln(p²/(p - 1))
b. Toon aan dat deze formule juist is.
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)