Eerder ontdekten we al dat de
afgeleide van gx gelijk is aan een constante maal gx
waarbij die constante van g afhangt. We hebben de constante toen ln(g)
genoemd.
|
|
f (x) = gx
⇒ f '(x)
= gx • ln g |
|
|
Deze les gaan we verder op zoek naar de eigenschappen van deze ln(g).
Hoe hangt hij nou precies van g af?
Eén ding weten we al wel: Als g gelijk is aan e, dan is
deze constante gelijk aan 1, ofwel ln e = 1.
Door voor een aantal waarden van g de waarde van ln(g) te
benaderen kunnen we alvast een idee krijgen van de grafiek van ln(g).
Dat geeft deze tabel en de grafiek ernaast. |
|
|
| g |
0,3 |
0,5 |
2 |
e |
3 |
4 |
| ln(g) |
-1,20 |
-0,69 |
0,69 |
1 |
1,10 |
1,39 |
We kunnen ontdekken wat deze ln(g) voorstelt door de
afgeleide van eax
op twee manieren op te schrijven:
•
De afgeleide van eax is met de kettingregel
gelijk
aan a • eax
• eax = (ea)x
dus de afgeleide is (ea)x • ln(ea)
(dat was immers de regel voor de afgeleide van gx)
Maar die twee moeten natuurlijk wel gelijk zijn!
|
|
Dus moet gelden: ln(ea)
= a en ook graag voor élke a !!!!!!
Die lnx functie zorgt ervoor dat ex
teniet wordt gedaan.
Maar dat betekent dat lnx de functie is die ex
opheft......
De inverse ervan.......
Dus moet wel gelden lnx = elogx |
| |
|
|
Deze ln(x) is dus de
logaritme met grondtal e. Hij heet ook wel de
natuurlijke
logaritme.
Onze mysterieuze constante factor blijkt dus gewoon een logaritme te
zijn; en wel de logaritme met grondtal e.
Dat betekent dat alle rekenregels voor logaritmen en eigenschappen van
grafieken van logaritmen ook voor lnx gelden.
Hier zijn ze nog een keer in hun "ln-vorm"; |
|
|
|
|
 |
lna + lnb
= ln(ab)
lna - lnb = ln(a/b)
p · lna =
ln(ap) |
|
|
|
| |
|
| |
|
|
|
OPGAVEN |
|
|
| 1. |
Los algebraïsch op en rond je antwoord
niet af:
| |
|
|
|
| a. |
ln(2x) = 4 |
|
g. |
5 - lne3 = lnx |
|
| |
|
|
|
|
|
| b. |
ln(3x + 4) = 2lnx |
|
h. |
lnx + ln(x -
1) = ln(2x) |
|
| |
|
|
|
|
|
| c. |
ln(x√x) = lnx
+ 4 |
|
i. |
ex - 2 = 3 |
|
| |
|
|
|
|
|
| d. |
5lnx = 3lnx + 4 |
|
j. |
ln(1/x) = 3 + lnex |
|
| |
|
|
|
|
|
| e. |
5 • e2x = 10 |
|
k. |
ln(e4 -
2x) = x
+ 8 |
|
| |
|
|
|
|
|
| f. |
elnx = 4x
+ 6 |
|
l. |
2e2x + 4 =
6ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 2. |
De snelheid v
(in km/uur) waarmee een viervoeter loopt hangt af van de heuphoogte
(H in meter) en de paslengte P (in meter) De
volgende formule blijkt het verband redelijk weer te geven:
v = 4,6 ×
e0,8 ×
P -
0,04
× P
× H
|
| |
|
|
|
| |
a. |
Bereken algebraïsch de
paslengte van een hond met heuphoogte 40 cm die loopt met een
snelheid van 15 km/uur. |
| |
|
|
|
| |
Voor viervoeters met een
paslengte van 1,20 meter is bovenstaande formule te schrijven als:
v = 12,01 ×
e-
0,048 ×
H |
| |
|
|
|
| |
b. |
Toon dat aan. |
|
| |
|
|
|
| |
De formule voor viervoeters
met een paslengte van 1,20 meter is te herschrijven tot de vorm
H =
a × ln(v) + b |
| |
|
|
|
| |
c. |
Bereken de waarden
van de constanten a en b in deze formule in één decimaal
nauwkeurig. |
| |
|
|
|
| 3. |
Het aantal verschillende
vissoorten (V) in een groot meer hangt af van de
wateroppervlakte (W) van dat meer.
De
formule V = c • ln(W) blijkt te
gelden, met W in km2
Daarin is c een constante.
Voor oppervlaktes groter dan 10 km2 blijkt c
steeds (ongeveer) hetzelfde te zijn..
In een meer van 50 km2 leven ongeveer 1200 vissoorten. |
| |
|
|
|
| |
a. |
Toon aan dat V altijd
met ongeveer 210 toeneemt als W verdubbelt, ongeacht
hoe groot W precies is (wel groter dan 10 km2) |
| |
|
|
|
| |
Een deel van het meer wordt
ingepolderd, en daardoor leven er na afloop nog maar 950 soorten. |
| |
|
|
|
| |
b. |
Hoeveel procent van het meer
is dan ingepolderd? |
|
|
|
 |
|
|
©
h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
| |
|
|
|
|
|
|
