Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Meer opgaven

ln(4x) = 2

2 + lne² = lnx

ln(x + 6) = 2lnx

lnx + ln2x = ln(x + 1)

ln(√x) = lnx + 2

e^x^{- 1} = 4

3lnx = lnx + 2

ln(^e/_x) = 3 + lnx

2 • e^x = 6

ln(e^{2x + 1}) = x - 5

e^ln^x = 3x - 8

e²^x + 2 = 3e^x

De longinhoud (I in liters) van mensen tot 25 jaar blijkt af te hangen van hun geslacht (man/vrouw) en hun leeftijd (J in jaren) en hun lengte (L in meters). Voor meisjes onder de 25 geldt bij benadering de formule:

I = 0,245 • e^{1,488 • L + 0,0119 •
L • J}

Bereken algebraïsch de lengte van een meisje van precies 15 jaar met een longinhoud van 2,5 liter.

Voor meisjes van 1,60 meter lang is bovenstaande formule te schrijven als: I = 2,65 × e^0,01904× J

Toon dat aan.

De formule voor meisjes van 1,60 m lang is te herschrijven tot de vorm J = a × ln(I) + b

Bereken de waarden van de constanten a en b in deze formule in één decimaal nauwkeurig.

Biologen gebruiken voor het aantal diersoorten (n) in een gebied met oppervlakte A de formule n = k • ln(A)
Daarin is k een constante.
Voor oppervlaktes groter dan 100 km² blijkt k constant te zijn.
In een bos van 400 km² leven ongeveer 3500 diersoorten.

Toon aan dat n altijd met ongeveer 400 toeneemt als A verdubbelt, ongeacht hoe groot A precies is (wel groter dan 100 km²)

Een deel van het bos wordt gekapt, en daardoor leven er na afloop nog maar 2800 soorten.

Hoeveel procent van het bos is dan gekapt?

MEER OPGAVEN

Wijken in een stad die dicht bij het centrum liggen zijn dichter bevolkt dan wijken verder van het centrum af.
In 1950 begon men een onderzoek naar het verband tussen de bevolkingsdichtheid in een stad en de afstand tot het stadscentrum.
De bevolkingsdichtheid D in een punt P is het aantal inwoners in een cirkelvormig gebied rond P met een oppervlakte van 1 km².
In de figuur hiernaast zie je een grafiek die voor een bepaalde stad het verband tussen de afstand x tot het stadscentrum (in km) en de bevolkingsdichtheid D weergeeft.

Uit deze grafiek kun je aflezen dat op een afstand van 4 kilometer van het stadscentrum de bevolkingsdichtheid gelijk is aan 10000 inwoners per km².
Bij de grafiek hiernaast hoort de exponentiële formule
D = a · e ^-bx. Hierin zijn a en b constanten

Bereken met behulp van de grafiek hierboven de waarden van a en b. Rond in je antwoord gevonden waarden die niet geheel zijn af op twee decimalen.

Voor een tweede stad heeft men het volgende lineaire verband tussen ln(D) en x gevonden: ln(D) = 10 - 0,2x.

Toon algebraïsch aan dat bij benadering geldt: D = 22000 · e ^-0,2x

Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2006

Om 15.00 uur wordt het verwarmingselement van een sauna aangezet. Vanaf dat moment wordt de sauna opgewarmd. Dan geldt: S(t) = 200 - 180 • e^-0,29t
Hierin is S de temperatuur in de sauna in graden Celsius en t de tijd in uren vanaf 15.00 uur.

De thermostaat van de sauna is ingesteld op 100ºC. Zodra die temperatuur bereikt is, wordt het opwarmen gestopt. Vanaf dat moment wordt de temperatuur constant gehouden. In onderstaande figuur staat de grafiek van S.

Bereken hoe laat het opwarmen wordt gestopt. Geef het tijdstip in minuten nauwkeurig.

Bereken met behulp van differentiëren de snelheid waarmee de temperatuur in de sauna toeneemt om 16.00 uur. Geef je antwoord in tienden van graden Celsius per minuut.

Om bij een ingestelde temperatuur van de thermostaat uit te rekenen hoe lang de sauna nodig heeft om deze temperatuur te bereiken, kun je een formule gebruikten die t uitdrukt in S.

Druk t uit in S.