© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
 
Loodrecht snijdende grafieken.

 
 
Bekijk twee lijnen l1 en l2 die elkaar loodrecht snijden, zoals hiernaast getekend is.

Wat is er te zeggen over de richtingscoëfficiënten?

Om daar iets over te ontdekken nemen we vanaf het snijpunt een stap van 1 opzij, zoals getekend in de figuur hiernaast. Dus AS = SC = 1
Dan horen dan stappen AB en CD omhoog  en omlaag. Die zijn gelijk aan de richtingscoëfficiënten van de lijnen.
Omdat lijn l1 stijgt is AB = a1  en omdat lijn l2 daalt is CD = -a2.
waarbij a1 en a2 de richtingscoëfficiënten van de lijnen zijn.
Ik beweer dat de driehoeken ASB en CDS gelijkvormig zijn.
Dat kun je zó zien:  stel dat driehoek ABS een rechte en een rode en een groene hoek heeft.
Dan is rood + groen samen 90º.
Maar de drie hoeken bij S op lijn AC zijn samen 180º, waarbij de middelste gelijk is aan 90º. Dus is die hoek DSC samen met de groene óók 90º.  Dus moet die hoek wel gelijk zijn aan de rode.
Maar dan is de andere hoek van driehoek CDS weer gelijk aan de groene.

De beide driehoeken hebben dus dezelfde hoeken, dus ze zijn gelijkvormig. 
Dan geldt:
Conclusie:
       

twee lijnen loodrecht op elkaar  ⇔  a1 · a2 = -1

       
Daarin stellen a1  en a2  de richtingscoëfficiënten van de twee lijnen voor. 
Zo zullen bijvoorbeeld de lijnen y = 0,2x + 4  en   y = -5x + 12  loodrecht op elkaar staan omdat 0,2 · -5 = -1
En de lijnen y = 2x + 3  en  y = -0,1x - 5 staan niet loodrecht op elkaar want  2 · -0,1 = -0,2 en dat is niet -1.
       
Gekromde grafieken.
       
Bij gekromde grafieken ligt de zaak anders, immers die hebben niet één hellinggetal; maar daar is de helling in elk punt van de grafiek weer anders. Toch kunnen sommige gekromde grafieken elkaar best loodrecht snijden, en anderen niet. Kijk maar:
       

       
De hoeken waaronder deze grafieken elkaar snijden zijn (ongeveer) gelijk aan die groene getekende hoeken. Het lijkt erop dat in de middelste figuur de grafieken elkaar loodrecht snijden.  De vraag is:  hoe berekenen we of dat inderdaad zo is, als we de formules f en g van de grafieken weten?

Het antwoord is eenvoudig, als je je maar bedenkt wat de helling van de grafiek in een bepaald punt nou precies voorstelt.
       

De helling van de grafiek van  f  in een bepaald punt is gelijk
aan de afgeleide f ' in dat punt.
       
Dat betekent in de bovenstaande drie grafieken dat de hellinggetallen van die groene lijntjes gelijk zijn aan f ' en g' . Maar als die groene lijntjes loodrecht op elkaar moeten staan dan betekent dat dus dat hun hellinggetallen met elkaar vermenigvuldigd -1 op moet leveren.  Dus moet gelden  f ' · g' = -1.
Natuurlijk is dat alleen nog niet voldoende: de grafieken moeten uiteraard elkaar ook snijden in dat punt. Dat geeft als extra voorwaarde dat moet gelden  f = g
       

De grafieken van f en g snijden elkaar loodrecht:

 

 

1.    f '= g'

2.  f ' · g' = -1

 

 
       
Het lijkt nogal op de vorige les over rakende grafieken. Ook hier stel je twee vergelijkingen op, en hoop je dat je uit die twee samen een oplossing kunt vinden.

 
Voorbeeld.  
Voor welke p snijden de grafieken van  y = x2 + p  en  y = p/x elkaar loodrecht?

Oplossing.
f  = g  geeft    x2 + p = p/x
f ' · g' = -1  geeft  2x · -p/x2 = -1  ofwel  2p = x

De laatste invullen in de eerste: 
(2p)2  + p  = p/2p  ⇒ 4p2 + p = 0,5  ⇒  4p2 + p - 0,5 = 0  
De ABC formule geeft  p = -0,5  of  p = 0,25
p = -0,5 geeft  x = -1  en  p = 0,25  geeft  x = 0,5   
Dat zijn de volgende twee gevallen, en dat lijkt inderdaad te kloppen. 		 
   

 
       
 
 
 
  OPGAVEN
   
1. Bij de middelste van de drie grafieken hierboven horen de volgende formules:
f(x) = a + b√x  en  g(x) = x2 - 8x + 16.
Bereken a en b als de grafieken elkaar loodrecht snijden in (2, 4).
         
2. Voor elke p is gegeven de functie:  f(x) = x + Ö(4 - px)
 

Hieronder zie je de grafiek van de functie fp.
         
 

         
 

In bovenstaande figuur is de grafiek van f2 getekend. A is het randpunt, B is de top, C is het snijpunt met de y-as en D is het snijpunt met de x-as.
         
  a. Bereken algebraïsch de coördinaten van A, B, C en D.
         
  b. Bereken p in het geval dat de grafieken van fp en f2 elkaar loodrecht snijden.
         
3. a. Voor welke a snijden de grafieken van y = ax2  en  y = 4/x elkaar loodrecht?
   
  b. Voor welke p snijden de grafieken van  y = x2 + 3x en  y = 1/x + p  elkaar loodrecht?
         
   
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)