© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Loodrecht snijdende grafieken.
 
In een eerdere les hebben we bestudeerd wat je over twee lijnen kunt zeggen als je weet dat ze elkaar loodrecht snijden. De conclusie daar was als volgt:
       

twee lijnen loodrecht op elkaar  ⇔  a1 · a2 = -1

       
Daarin stellen a1  en a2  de hellinggetallen ( richtingscoëfficiënten) van de twee lijnen voor. 
Zo zullen bijvoorbeeld de lijnen y = 0,2x + 4  en   y = -5x + 12  loodrecht op elkaar staan omdat 0,2 · -5 = -1
En de lijnen y = 2x + 3  en  y = -0,1x - 5 staan niet loodrecht op elkaar want  2 · -0,1 = -0,2 en dat is niet -1.
       
Gekromde grafieken.
       
Bij gekromde grafieken ligt de zaak anders, immers die hebben niet één hellinggetal; maar daar is de helling in elk punt van de grafiek weer anders. Toch kunnen sommige gekromde grafieken elkaar best loodrecht snijden, en anderen niet. Kijk maar:
       

       
De hoeken waaronder deze grafieken elkaar snijden zijn (ongeveer) gelijk aan die groene getekende hoeken. Het lijkt erop dat in de middelste figuur de grafieken elkaar loodrecht snijden.  De vraag is:  hoe berekenen we of dat inderdaad zo is, als we de formules f en g van de grafieken weten?

Het antwoord is eenvoudig, als je je maar bedenkt wat de helling van de grafiek in een bepaald punt nou precies voorstelt.
       

De helling van de grafiek van  f  in een bepaald punt is gelijk aan de afgeleide f ' in dat punt.
       
Dat betekent in de bovenstaande drie grafieken dat de hellinggetallen van die groene lijntjes gelijk zijn aan f ' en g' . Maar als die groene lijntjes loodrecht op elkaar moeten staan dan betekent dat dus dat hun hellinggetallen met elkaar vermenigvuldigd -1 op moet leveren.  Dus moet gelden  f ' · g' = -1.
Natuurlijk is dat alleen nog niet voldoende: de grafieken moeten uiteraard elkaar ook snijden in dat punt. Dat geeft als extra voorwaarde dat moet gelden  f = g
       

De grafieken van f en g snijden elkaar loodrecht:

 

 

1.    f '= g'

2.  f ' · g' = -1

 

 
       
Het lijkt nogal op de vorige les over rakende grafieken. Ook hier stel je twee vergelijkingen op, en hoop je dat je uit die twee samen een oplossing kunt vinden.

 
Voorbeeld.   Voor welke p snijden de grafieken van  y = x2 + p  en  y = p/x elkaar loodrecht?

f = g  geeft    x2 + p = p/x
f '· g' = -1  geeft  2x · -p/x2 = -1  ofwel  2p = x

De laatste invullen in de eerste:  (2p)2  + p  = p/2p  ⇒ 4p2 + p = 0,5  ⇒  4p2 + p - 0,5 = 0  
De ABC formule geeft  p = -0,5  of  p = 0,25
p = -0,5 geeft  x = -1  en  p = 0,25  geeft  x = 0,5   
Dat zijn de volgende twee gevallen, en dat lijkt inderdaad te kloppen.
       

       
 
 
OPGAVEN
   
1. Toon aan dat de volgende grafieken elkaar loodrecht snijden:
     
  a. f(x) = 2,75x2 + 11,5x  en   g(x) = 2x2 + 6x - 8
     
  b. f(x) = 2 - 3Öx  en    g(x) = -2x + 11
     
2. a. Voor welke a snijden de grafieken van y = x2  en  y = a/x elkaar loodrecht?
         
  b. Voor welke p snijden de grafieken van  y = 1/3x3 + px en  y = 2x2  elkaar loodrecht?
         
  c. Voor welke p snijden de grafieken van  y = pÖx  en  y = 1/Öx elkaar loodrecht?
         
3. De lijn y = 1/3x - 4 snijdt de grafiek van  f(x) = ax3 + bx2 - 3x - 4 op twee plaatsen loodrecht, namelijk bij x = 0 en bij x = 2
         
  a. Laat zien dat dat in x = 0 voor elke a en b geldt.
         
  b. Bereken de waarden van a en b waarvoor dat ook bij x = 4 zo is.
         
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)